الفرق بين المراجعتين لصفحة: «المختصر في حساب الجبر والمقابلة»

تم حذف المحتوى تمت إضافة المحتوى
همزة القطع (أربع)
لا ملخص تعديل
سطر 13:
الحمد لله على نعمه بما هو أهله من محامده إلى بأداء ما افترض منها على من يعبده من خلقه يقع اسم الشكر ويستوجب المزيد ونؤمن من الغير اقراراً بربوبيته وتذللا لعزته وخشوعاً لعظمته. بعث محمداً صلى الله عليه وعلى آله وسلم بالنبوة على حين فترة من الرسل وتنكر من الحق ودروس من الهدى فبصر به من العمى واستنقذ به من الهلكة وكثر به بعد القلة وألف به بعد الشتات. تبارك الله ربنا وتعالى جده وتقدست اسماؤه ولا إله غيره، وصلى الله على محمد النبي وآله وسلم. ولم تزل العلماء في الأزمنة الخالية والأمم الماضية يكتبون الكتب مما يصنفون من صنوف العلم ووجوه الحكمة نظراً لمن بعدهم واحتساباً للأجر بقدر الطاقة ورجاء أن يلحقهم من أجر ذلك وذخره وذكره ويبقى لهم من لسان الصدق ما يصغر في جنبه كثير مما كانوا يتكلفونه من المؤونة ويحملونه على أنفسهم من المشقة في كشف أسرار العلم وغامضه. إما رجل سبق إلى ما لم يكن مستخرجاً قبله فورثه من بعده. وإما رجل شرح مما أبقى الأولون ما كان مستغلقاً فأوضح طريقة وسهل مسلكه وقرب مأخذه. وإما رجل وجد في بعض الكتب خللاً فلم شعثه وأقام أوده وأحسن الظن بصاحبه غير راد عليه ولا مفتخر بذلك من فعل نفسه.
 
وقد شجعني ما فضل الله به الإمام المأمون أمير المؤمنين مع الخلافة التي حاز له إرثها وأكرمه بلباسها وحلاه بزينتها، من الرغبة في الأدب وتقريب أهله وادنائهم وبسط كنفه لهم ومعونته إياهم على إيضاح ما كان مستبهماً وتسهيل ما كان مستوعراً على أن ألفت من كتاب الجبر والمقابلة كتاباً مختصراً حاصراً للطيف الحساب وجليله لما يلزم الناس من الحاجة إليه في مواريثهم ووصاياهم وفي مقاسمتهم وأحكامهم وتجاراتهم، وفي جميع ما يتعاملون به بينهم من مساحة الارضين وكري الأنهار والهندسة وغير ذلك من وجوهه وفنونه، مقدماً الحسن النية فيه وراجياً لأن ينزله أهل الأدب بفضل ما استودعوا من نعم الله تعالى وجليل آلائه وجميل بلائه عندهم منزلته وبالله توفيقي في هذا وفي غيره عليه توكلت وهو رب العرش العظيم. وصلى آله على جميع الانبياءالأنبياء والمرسلين.
 
وإني لما نظرت فيما يحتاج إليه الناس من الحساب وجدت جميع ذلك عدداً ووجدت جميع الأعداد إنما تركبت من الواحد والواحد داخل في جميع الأعداد. ووجدت جميع ما يلفظ به من الأعداد ما جاوز الواحد إلى العشرة يخرج مخرج الواحد ثم تثنى العشرة وتثلث كما فعل بالواحد فتكون منها العشرون والثلاثون إلى تمام المائة، ثم تثنى المائة وتثلث كما فعل بالواحد وبالعشرة إلى الألف ثم كذلك تردد الألف عند كل عقد إلى غاية المدرك من العدد. ووجدت الأعداد التي يحتاج إليها في حساب الجبر والمقابلة على ثلاثة ضروب وهي جذور وأموال وعدد مفرد لا ينسب إلى جذر ولا إلى مال.
سطر 27:
فأما '''الأموال التي تعدل الجذور''' فمثل قولك مال يعدل خمسة اجذاره فجذر المال خمسة والمال خمسة وعشرون وهو مثل خمسة اجذاره. وكقولك ثلث مال يعدل أربعة اجذار فالمال كله يعدل أثني عشر جذراً وهو مائة وأربعة وأربعون وجذره أثني عشر. ومثل قولك خمسة أموال تعدل عشرة اجذار فالمال الواحد يعدل جذرين وجذر المال اثنان والمال أربعة وكذلك ما كثر من الأموال أو قل يرد إلى مال واحد وكذلك يفعل بما عادلها من الاجذار يرد إلى مثل ما يرد إليه المال.
 
وأما '''الأموال التي تعدل العدد''' فمثل قولك مال يعدل تسعة فهو المال وجذره ثلاثة وكقولك خمسة أموال تعدل ثمانين فالمال الواحد خمس الثمانين وهو ستة عشر وكقولك نصف مال يعدل ثمانية عشر فالمال يعدل ستة وثلاثين وجذره ستة وكذلك جميع الأموال زائدها وناقصها ترد إلى مال واحد وإن كانت أقل من مال زيد عليها تكمل مالا تاما وكذلك يفعل بما عادلها من الاعدادالأعداد.
 
وأما '''الجذور التي تعدل عدداً''' فكقولك جذر يعدل ثلاثة من العدد فالجذر ثلاثة والمال الذي يكون منه تسعة. وكقولك أربعة اجذار تعدل عشرين فالجذر الواحد يعدل خمسة والمال الذي يكون منه خمسة وعشرون وكقولك نصف جذر يعدل عشرة فالجذر يعدل عشرين والمال الذي يكون منه أربعمائة.
سطر 33:
ووجدت هذه الضروب الثلاثة التي هي الجذور والأموال والعدد، تقترن فيكون منها ثلاثة اجناس مقترنة وهي ('''أموال وجذور تعدل عدداً'''، '''وأموال وعدد تعدل جذوراً'''، '''وجذور وعدد تعدل اموالاً''').
فأما '''الأموال والجذور التي تعدل العدد''' فمثل قولك مال وعشرة اجذاره يعدل تسعة وثلاثين درهماً ومعناه أي مال إذا زدت عليه مثل عشرة اجذاره بلغ ذلك كله تسعة وثلاثين. فقياسه أن تنصف الاجذارالأجذار وهي في هذه المسألة خمسة فتضربها في مثلها فتكون خمسة وعشرين فتزيدها على التسعة والثلاثين فتكون أربعة وستين فتأخذ جذرها وهو ثمانية فتنقص منه نصف الاجذارالأجذار وهو خمسة فيبقى ثلاثة وهو جذر المال الذي تريد والمال تسعة. وكذلك لو ذكر مالين أو ثلاثة أو أقل أو أكثر فأردده إلى مال واحد واردد ما كان معه من الاجذارالأجذار والعدد إلى مثل ما رددت إليه المال. وهو نحو قولك مالان وعشرة اجذار تعدل ثمانية وأربعين درهما ومعناه أي مالين إذا جمعا وزيد عليهما مثل عشرة اجذار أحدهما بلغ ذلك ثمانية وأربعين درهما فينبغي أن ترد المالين إلى مال واحد وقد علمت أن مالا من مالين نصفهما فأردد كل شيء في المسألة إلى نصفه فكأنه قال مال وخمسة اجذار يعدل أربعة وعشرين درهما. ومعناه أي مال إذا زدت عليه خمسة اجذاره بلغ ذلك أربعة وعشرين. فنصف الاجذارالأجذار فتكون اثنين ونصفا فاضربها في مثلها فتكون ستة وربعا فزدها على الأربعة والعشرين فتكون ثلاثين درهما وربما فخذ جذرها وهو خمسة ونصف فانقص منها نصف الاجذارالأجذار وهو اثنان ونصف يبقى ثلاثة وهو جذر المال والمال تسعة. وكذلك لو قال نصف مال وخمسة اجذارهأجذاره يعدل ثمانية وعشرين درهما فعنى ذلك أي مال إذا زدت على نصفه مثل خمسة اجذاره بلغ ذلك ثمانية وعشرين درهما فتريد أن تكمل مالك حتى يبلغ مالامالاً تاماً وهو أن تضعفه فأضعفه وأضعف كلما معك مما يعادله فيكون مالامالاً وعشرة اجذار يعدل ستة وخمسين درهما فنصف الاجذارالأجذار تكون خمسة فاضربها في مثلها تكون خمسة وعشرين فزدها على الستة والخمسين تكون احدا وثمانين فخذ جذرها وهو تسعة فانقص منها نصف الاجذارالأجذار وهو خمسة فيبقى أربعة وهو جذر المال الذى أردته والمال ستة عشر ونصفه ثمانية، وكذلك فافعل بجميع ما جاءك من الأموال والجذور وما عادلها من العدد يصب ان شاء الله.
 
وأما '''الأموال والعدد التي تعدل الجذور''' فنحو قولك مال واحد وعشرون من العدد يعدل عشرة اجذاره ومعناه أي مال إذا زدت عليه واحدا وعشرين درهما كان ما اجتمع مثل عشرة اجذار ذلك المال. فقياسه أن تنصف الاجذارالأجذار فتكون خمسة فاضربها في مثلها يكون خمسة وعشرين فأنقص منها الواحد والعشرين التي ذكر انها مع المال فيبقى أربعة فخذ جذرها وهو اثنان فأنقصه من نصف الاجذارالأجذار وهو خمسة فيبقى ثلاثة وهو جذر المال الذي تريده والمال تسعة. وأن شئت فزد الجذر على نصف الاجذارالأجذار فتكون سبعة وهو جذر المال الذي تريده والمال تسعة وأربعون. فإذا وردت عليك مسئلة تخرجك إلى هذا الباب فامتحن صوابها بالزيادة فان لم تكن فهي بالنقصان لا محالة وهذا الباب يعمل بالزيادة والنقصان جميعاً وليس ذلك في غيره من الابوابالأبواب الثلاثة التي يحتاج فيها إلى تنصيف الاجذارالأجذار. وأعلم أنك إذا نصفت الاجذارالأجذار في هذا الباب وضربتها في مثلها فكان مبلغ ذلك أقل من الدراهم التي مع المال فالمسألة مستحيلة. وإن كان مثل الدراهم بعينها فجذر المال مثل نصف الاجذارالأجذار سواء لا زيادة ولا نقصان. وكل ما أتاك من مالين أو أكثر أو أقل فأردده إلى مال واحد كنحو ما بينت لك في الباب الأول.
 
وأما '''الجذور والعدد التي تعدل الأموال''' فنحو قولك ثلاثة اجذار وأربعة من العدد تعدل مالامالاً. فقياسه أن تنصف الاجذارالأجذار فتكون واحداً ونصفاً فاضربها في مثلها فتكون اثنين وربعاً فزدها على الربعة فتكون ستة وربعاً فخذ جذرها وهو اثنان ونصف فزده على نصف الاجذارالأجذار وهو واحد ونصف فتكون أربعة وهو جذر المال، والمال ستة عشر وكل ما كان أكثر من مال أو أقل فأردده إلى مال واحد فهذه الستة الضروب التي ذكرتها في صدر كتابي هذا وقد اتيت على تفسيرها واخبرت أن منها ثلاثة ضروب لا تنصف فيها الاجذارالأجذار وقد بينت قياسها واضطرارها. فأما ما تحتاج فيه إلى تنصيف الاجذار في الثلاثة الأبواب الباقية فقد وصفته بأبواب صحيحة وصيرت لكل باب منها صورة يستدل منها على العله في التنصيف.
 
فأما علة '''مال وعشرة اجذار يعدل تسعة وثلاثين درهماً''' فصورة ذلك سطح مربع مجهول الاضلاعالأضلاع وهو المال الذي تريد أن تعرفه وتعرف جذره وهو سطح (أ ب) وكل ضلع من اضلاعه فهو جذره وكل ضلع من أضلاعه إذا ضربته في عدد من الاعدادالأعداد فما بلغت الاعدادالأعداد فهي أعداد جذور. كل جدر مثل جذر ذلك السطح فلما قيل إن مع المال عشرة اجذاره اخذنا ربع العشرة وهو اثنان ونصف وصيرنا كل ربع منها مع ضلع من اضلاع السطح فصار مع السطح الأول الذي هو سطح (أ ب) وعرضه اثنان ونصف وهي سطوح (ج ط ك ج) فحدث سطح متساوي الأضلاع مجهول أيضاً ناقص في زواياه الأربع في كل زاوية من النقصان اثنان ونصف فصار الذي يحتاج إليه من الزيادة حتى يتربع السطح اثنان ونصف في مثله أربع مرات ومبلغ ذلك جميعه خمسة وعشرون. وقد علمنا أن السطح الأول الذي هو سطح المال والأربعة السطوح التي حوله وهي عشرة اجذار هي تسعة وثلاثون من العدد. فاذا زدنا عليها الخمسة والعشرين التي هي المربعات الأربع التي هي على زوايا سطح (أ ب) تم تربيع السطح الاعظمالأعظم وهو سطح (د هـ) وقد علمنا أن ذلك كله أربعة وستون واحد أضلاعه جذره وهو ثمانية فاذا نقصنا من الثمانية مثل ربع العشرة مرتين من طرفي ضلع السطح الأعظم الذي هو سطح (د هـ) وهو خمسة بقي من ضلعه ثلاثة وهو جذر ذلك المال. وإنما نصفنا العشرة الاجذار وضربناها في مثلها وزدناها على العدد الذي هو تسعة وثلاثون ليتم لنا بناء السطح الأعظم بما نقص من زواياه الأربع لأن كل عدد يضرب ربعه في مثله ثم في أربعة يكون مثل ضرب نصفه في مثله فاستغنينا بضرب نصف الاجذارالأجذار في مثلها عن الربع في مثله ثم في أربعة وهذه صورته.
 
وله أيضاً صورة أخرى تؤدى إلى هذا وهي سطح (أ ب) وهو المال فأردنا أن نزيد عليه مثل عشرة اجذاره فنصفنا العشرة فصارت خمسة فصيرناها سطحين على جنبتي سطح (أ ب) وهما سطحا (جـ د) فصار طول كل سطح منهما خمسة اذرع وهو نصف العشرة الاجذارالأجذار وعرضه مثل ضلع سطح (أ ب) فبقيت لنا مربعة من زوايا سطح (أ ب) وهي خمسة في خمسة وهي نصف العشرة الاجذارالأجذار التي زدناها على جنبتي السطح الأول فعلمنا أن السطح الأول هو المال وأن السطحين الذين على جنبتيه هما عشرة اجذار فذلك كله تسعة وثلاثون وبقى إلى تمام السطح الأعظم مربعة خمسة في خمسة فذلك خمسة وعشرون فزدناها على تسعة وثلاثين ليتم لنا السطح الأعظم الذي هو سطح ر ة فبلغ ذلك كله أربعة وستين فأخذنا جذرها وهو ثمانية وهو أحد أضلاع السطح الأعظم فإذا نقصنا منه مثل ما زدنا عليه وهو خمسة بقى ثلاثة وهو ضلع سطح (أ ب) الذى هو المال وهو جذره والمال تسعة وهذه صورته.
 
وأما '''مال واحد وعشرون درهماً يعدل عشرة اجذاره''' فأنا نجعل المال سطحاً مربعاً مجهول الاضلاعالأضلاع وهو (أ د) ثم نضم إليه سطحاً متوازي الاضلاعالأضلاع عرضه مثل أحد أضلاع سطح (أ د) وهو ضلع (هـ ن) والسطح هـ ب فصار طول السطحين جميعاً ضلع (جـ هـ)، وقد علمنا أن طوله عشرة من العدد لآن كل سطح مربع متساوي الأضلاع والزوايا فان أحد أضلاعه مضروباً في واحد جذر ذلك السطح، وفي أثنين جذراه فلما قال مال واحد وعشرون يعدل عشرة اجذاره علمنا أن طول ضلع (هـ جـ) عشرة اعداد لآن ضلع (ح د) جذر المال فقسمنا ضلع (جـ هـ) نصفين على نقطة (ح) فتبين لنا ان خط (هـ ح) مثل خط (ح جـ) وقد تبين لنا أن خط (ح ط) مثل خط (جـ د) فزدنا على خط (ح ط) على استقامته مثل فصل (جـ ح) على (ح ط) ليتربع السطح فصار خط (ط ك) مثل خط (ك م) وحدت سطح مربع متساوي الاضلاعالأضلاع والزوايا وهو سطح (م ط) وقد كان تبين لنا أن خط (ط ك) خمسة وأضلاعه مثله فسطحه اذا خمسة وعشرون وهو ما اجتمع من ضرب نصف الاجذارالأجذار في مثلها وهو خمسة في خمسة يكون خمسة وعشرين. وقد كان تبين لنا أن سطح (هـ ب) هو الواحد والعشرون التي زيدت على المال فقطعنا من سطح (هـ ب) بخط (ط ك) الذي هو أحد اضلاع سطح (م ط) بقي سطح (ط أ). واخذنا من خط (ك م) خط (ك ل) وهو مثل خط (ح ك) فتبين لنا أن خط (ط ح) مثل خط (م ل) وفصل من خط (م ك) خط (ل ك) وهو مثل خط (ك ح) فصار سطح (م ر) مثل سطح (ط أ) فيتبين لنا أن سطح (هـ ط) مزيدا عليه سطح (م ر) مثل سطح (هـ ب) وهو واحد وعشرون وقد كان سطح (م ط) خمسة وعشرين فلما نقصنا من سطح من سطح (م ط) سطح (هـ ط) الذين هما واحد وعشرون بقي لنا سطح صغير وهو سطح (ر ك) وهو فصل ما بين خمسة وعشرين وواحد وعشرين وهو أربعة وجذرها خط (ر ح) وهو مثل خط (ح أ) وهو اثنان. فان نقصتهما من خط (ح جـ) الذي هو نصف الاجذارالأجذار بقي خط (أ جـ) وهو ثلاثة وهو جذر المال الأول. فإن زدته على خط جـ ح الذي هو نصف الاجذارالأجذار بلغ ذلك سبعة وهو خط (ر جـ) ويكون جذر مال أكثر من هذا المال إذا زدت عليه واحداً وعشرين صار ذلك مثل عشرة اجذاره وهذا صورته وذلك ما أردنا أن نبين.
 
وأما '''ثلاثة اجذار وأربعة من العدد يعدل مالاً''' فانا نجعل المال سطحاً مربعاً مجهول الاضلاعالأضلاع والزوايا وهو سطح (أ د) فهذا السطح كله يجمع الثلاثة الاجذارالأجذار والأربعة التي ذكرناها وكل سطح مربع فأن احد أضلاعه في واحد جذره فقطعنا من سطح (أ د) سطح (هـ د) فجعلنا أحد أضلاعه الذي هو (هـ جـ) الثلاثة التي هي عدد الاجذارالأجذار وهي مثل (ر د) فتبين لنا أن سطح (هـ ب) هو الأربعة المزيدة على الاجذار فقطعنا ضلع (هـ جـ) الذي هو ثلاثة اجذار بنصفين على نقطة (ح) ثم جعلنا منه سطحاً مربعاً وهو سطح (هـ ط) وهو ما كان من ضرب نصف الاجذارالأجذار الذي هو واحد ونصف في مثله وهو اثنان وربع ثم زدنا في خط (ح ط) مثل (أ هـ) وهو خط (ط ل) فصار (ح ل) مثل خط (أ ح) وخط (ك ن) مثل خط (ط ل) وحدث سطح مربع متساوي الاضلاعالأضلاع والزوايا وهو سطح َ(ح م) وقد تبين لنا أن خط (أ ح) مثل خط (م ل) وخط (أ ح) مثل خط (ح ل) فبقي خط (ح جـ) مثل خط (ن ر) وخط (م ن) مثل (ط ل) فنفصل من سطح (هـ ب) مثل سطح (ك ل) وقد علمنا أن سطح (أ ر) هو الأربعة الزائدة على الثلاثة الاجذارالأجذار فصار سطح (أ ن) وسطح (ك ل) مثل سطح (أ ر) الذي هو الأربعة العدد فتبين لنا أن سطح (ح م) هو نصف الاجذارالأجذار الذي هو الأربعة العدد فتبين لنا أن سطح (ح م) هو نصف الاجذارالأجذار الذي هو واحد ونصف في مثله وهو اثنان وربع وزيادة الأربعة التي هي سطح (أ د) وهو المال كله نصف الاجذارالأجذار وهو واحد ونصف وهو خط (ح جـ) فإذا زدناه على خط (أ ح) الذي هو جذر سطح (ح م) وهو اثنان ونصف وزدنا عله خط (ح جـ) الذى هو نصف الثلاثة الاجذارالأجذار وهو واحد ونصف فبلغ ذلك كله أربعة وهو خط (أ جـ) وهو جذر المال الذى هو سطح (أ د) وهذه صورته وذلك ما أردنا أن نبين.
 
ووجدنا كل ما يعمل به من حساب الجبر والمقابلة لابد أن يخرجك إلى أحد الابوابالأبواب الستة التي وصفت في كتابي هذا وقد أتيت على تفسيرها فاعرف ذلك.
 
'''باب الضرب''' وأنا مخبرك كيف تضرب الأشياء وهي الجذور بعضها في بعض إذا كانت منفردة أو كان معها عدد أو كان مستثنى منها عدد أو كانت مستثناة من عدد وكيف تجمع بعضها إلى بعض، وكيف تنقص بعضها من بعض. أعلم أنه لا بد لكل عدد يضرب في عدد من أن يضاعف أحد العددين بعدد ما في الآخر من الآحاد. فاذا كانت عقود ومعها آحاد أو مستثني منها آحاد فلابد من ضربها أربع مرات العقود في العقود والعقود في الآحاد والآحاد في العقود والآحاد في الآحاد. فإذا كانت الآحاد التي مع العقود زائدة جميعاً فالضرب الرابع زائد أيضاً. وإذا كان أحدهما زائداً والآخر ناقصاً فالضرب رابع ناقص. وهو مثل عشرة وواحد في عشرة واثنين فالعشرة في العشرة مائة والواحد في العشرة عشرة زائدة والاثنان في العشرة عشرون زائدة والواحد في الاثنين اثنان زائدان فذلك كله مائة واثنان وثلاثون.
 
وإذا كانت عشرة الاإلا واحداً في عشرة الاإلا واحداً فالعشرة في العشرة مائة والواحد الناقص في العشرة عشرة ناقصة والواحد الناقص أيضاً في العشرة عشرة ناقصة فذلك ثمانون والواحد الناقص في الواحد الناقص واحد زائد فذلك أحد وثمانون. وإذا كانت عشرة واثنان في عشرة الاإلا واحداً فالعشرة في العشرة مائة والواحد الناقص في العشرة عشرة ناقصة والاثنان الزائدان في العشرة عشرون زائدة فذلك مائة وعشرة والاثنان الزائدان في الواحد المنقوص اثنان ناقصان فذلك كله مائة وثمانية. وإنما بينت هذا ليستدل به على ضرب الأشياء بعضها في بعض إذا كان معها عدد أو استثنيت من عدد أو استثني منها عدد.
 
فإذا قيل لك عشرة الاإلا شيئاً ومعنى الشيء الجذر في عشرة فأضرب عشرة في عشرة يكون مائة والاوإلا شيئاً في عشرة يكون عشرة اجذار ناقصة فتقول مائة إلا عشرة أشياء.
 
فان قال عشرة وشيء في عشرة فاضرب عشرة في عشرة يكون مائة وشيئاً في عشرة بعشرة أشياء زائدة يكون مائة وعشرة أشياء. وان قال عشرة وشيء في مثلها قلت عشرة في عشرة مائة وعشرة في شيء عشرة أشياء وعشرة في شيء بعشرة أشياء أيضاً وشيء في شيء مال زائد فيكون ذلك مائة درهم وعشرين شيئاً ومالاومالاً زائداً.
 
وإن قال عشرة الاإلا شيئاً في عشرة الاإلا شيئاً قلت عشرة في عشرة بمائة والاوإلا شيئاً في عشرة عشرة أشياء ناقصة والاوإلا شيئاً في عشرة عشرة أشياء ناقصة وإلا أشيئاً في الاإلا أشيئاًاشيئاً بمال زائد فيكون ذلك مائة ومالاومالاً الاإلا عشرين شيئاً.
 
وكذلك لو أنه قال لك درهم الاإلا سدساً في درهم الاإلا سدساً يكون خمسة اسداس في مثلها وهو خمسة وعشرين جزءاً من ستة وثلاثين من الدرهم وهو ثلثان وسدس السدس وقياسه أن تضرب درهماً في درهم فيكون درهماً والاوإلا سدساً في درهم بسدس ناقص والاوإلا سدساً في درهم بسدس ناقص فيبقى ثلثان والاوإلا سدساً في الاإلا سدساً بسدس السدس زائداً وذلك ثلثان وسدس السدس.
 
فإن قال عشرة إلا شيئاً في عشرة وشيء قلت عشرة في عشرة بمائة والاوإلا شيئاً في عشرة عشرة أشياء ناقصة وشيء في عشرة عشرة أشياء زائدة والاوإلا شيئاً في شيء مال ناقص فيكون ذلك مائة درهم الاإلا مالامالاً.
 
وإن قال عشرة الاإلا شيئاً في شيء قلت عشرة في شيء عشرة أشياء والاوإلا شيئاً في شيء مال ناقص فيكون عشرة أشياء الاإلا مالامالاً. وإن قال عشرة وشيء في شيء الاإلا عشرة قلت شيء في عشرة عشره أشياء زائدة وشيء في شيء مال زائد والاوإلا عشرة في عشرة مائة درهم ناقصة والاوإلا عشرة في شيء بعشرة أشياء ناقصة فتقول مال الاإلا مائة درهم بعد ما قابلت به وذلك أن تطرح عشرة أشياء زائدة بعشرة أشياء ناقصة فيبقى مال الاإلا مائة درهم.
 
وان قال عشرة درهم ونصف شيء في نصف درهم الاإلا خمسة أشياء قلت نصف درهم في عشرة بخمسة دراهم زائدة ونصف درهم في نصف شيء بربع شيء زائد والاوإلا خمسة أشياء في عشرة دراهم خمسون جذراً ناقصة فيكون جميع ذلك خمسة دراهم الاإلا تسعة وأربعين جذراً وثلاثة ارباع جذر ثم تضرب خمسة اجذار ناقصة في نصف جذر زائد فيكون مالين ونصفا ناقصاً فذلك خمسة دراهم الاإلا مالين ونصفا والاوإلا تسعة وأربعين جذراً وثلاثة أرباع جذر.
 
فان قال عشرة وشيء في شيء الاإلا عشرة فكأنه قال شيء وعشرة في شيء الاإلا عشرة فتقول شيء في شيء مال زائد وعشرة في شيء عشرة أشياء زائدة والاوإلا عشرة في شيء عشرة أشياء ناقصة فذهبت الزيادة بالنقصان وبقي المال والاوإلا عشرة في عشرة مائة منقوصة من المال فجميع ذلك مال الاإلا مائة درهم. وكل ما كان من الضرب زائداً وناقصاً مثل الاإلا شيئاشيئاً في زيادة شيء فالضرب الأخير ناقص أبداً فاعلم ذلك وبالله التوفيق.
 
'''باب الجمع والنقصان''' اعلم أن جذر مائتين الاإلا عشرة مجموع إلى عشرين الاإلا جذر مائتين فأنه عشرة سوياً. وجذر مائتين الاإلا عشرة منقوص من عشرين الاإلا جذر مائتين فهو ثلاثون الاإلا جذرى مائتين. وجذرا مائتين هو جذر ثماني مائة. ومائة ومال الاإلا عشرين جذراً مجموع إليه خمسون وعشرة اجذار الاإلا مالين فهو مائة وخمسون الاإلا مالامالاً والاوإلا عشرة اجذار. ومائة ومال إلى عشرين جذراً منقوص منه خمسون وعشرة اجذار الاإلا مالين فهو خمسون درهما وثلاثة أموال الاإلا ثلاثين جذراً. وأنا مبين لك علة ذلك في صورة تؤدى إلى الباب ان شاء الله تعالى.
 
واعلم أن كل جذر مال معلوم أو أصم تريد أن تضعفه ومعنى اضعافك اياه أن تضربه في اثنين فينبغي أن تضرب اثنين في اثنين ثم في المال فيصير جذر ما اجتمع مثلى جذر ذلك المال. وأن أردت ثلاثة امثاله فاضرب ثلاثة في ثلاثة ثم في المال فيكون جذر ما اجتمع ثلاثة امثال جذر ذلك المال الأول وكذلك ما زاد من الاضعافالأضعاف أو نقص فعلى هذا المثال نفسه. وأن أردت أن تأخذ نصف جذر مال فينبغي أن تضرب نصفا في نصف فيكون ربعاً ثم في المال فيكون جذر ما اجتمع مثل نصف جذر ذلك المال. وكذلك ثلثه أو ربعه أو أقل من ذلك أو أكثر بالغاً ما بلغ في النقصان والاضعافوالأضعاف. ومثال ذلك إذا أردت أن تضعف جذر تسعة ضربت اثنين في اثنين ثم في تسعة فيكون ستة وثلاثين فخذ جذره يكون ستة وهو ضعف جذر تسعة وكذلك لو أردت أن تضعف جذر تسعة ثلاث مرات ضربت ثلاثة في ثلاثة ثم في تسعة فكون أحد وثمانين فخذ جذره تسعة وذلك جذر تسعة مضاعفا ثلاث مرات. فان اردت أن تأخذ نصف جذر تسعة فانك تضرب نصفا في نصف فيكون ربعا ثم تضرب ربعا في تسعة فيكون اثنين وربعا فتأخذ جذرها وهو واحد ونصف وهو نصف جذر تسعة وكذلك ما زاد أو نقص من المعلوم والاصموالأصم فهذا طريقه.
 
'''القسم''' وأن أردت أن تقسم جذر تسعة على جذر أربعة فإنك تقسم تسعة على أربعة فيكون اثنين وربعا فجذرها هو ما يصيب الواحد وهو واحد ونصف. وان اردت ان تقسم جذر أربعة على جذر تسعة فانك تقسم أربعة على تسعة فيكون أربعة اتساع واحد فجذرها ما يصيب الواحد وهو ثلثا واحد. فان أردت ان تقسم جذرى تسعة عل جذر أربعة أو غيرها من الاموالالأموال فأضعف جذر التسعة على ما ارايتك في عمل الاضعافالأضعاف فما بلغ فاقسمه على أربعة أو على ما اردت أن تقسم عليه وأعمل به كما عملت. وكذلك إن أردت ثلاثة اجذار تسعة أو أكثر أو نصف جذر تسعة أو أقل أو ما كان فعلى هذا القياس فاعمله تصب أن شاء الله تعالى.
 
وأن أردت أن تضرب جذر تسعة في جذر أربعة فاضرب تسعة في أربعة فيكون ستة وثلاثين فخذ جذرها وهو ستة وهو جذر تسعة مضروب في جذر أربعة. وكذلك لو أردت أن تضرب جذر خمسة في جذر عشرة فاضرب خمسة في عشرة فجذر ما بلغ هو الشيء الذي تريده. وان اردت أن تضرب جذر ثلث في جذر نصف فاضرب ثلثا في نصف فكون سدسا فجذر السدس هو جذر الثلث مضروب في جذر النصف. وان اردت ان تضرب جذري تسعة في ثلاثة اجذار أربعة فاستخرج جذري تسعة على ما وصفت لك حتى تعلم جذر اي مال هو ثم أضرب المالين أحدهما في الآخر فجذر ما اجتمع لك هو جذري تسعة في ثلاثة اجذار أربعة وكذلك كلما زاد من الاجذارالأجذار أو نقص فعلى هذا المثال فاعمل به.
 
فأما علة '''جذر مائتين الاإلا عشرة مجموعا إلى عشرين الاإلا جذر مائتين''' فان صورة ذلك خط (أ ب) وهو جذر مائتين فمن (أ) إلى نقطة (جـ) هو العشرة والباقي جذر مائتين هو الباقي من خط (أ ب) وهو خط (جـ ب) ثم تخرج من نقطة (ب) خطاً إلى نقطة (د) وهو خط العشرين وهو مثلا خط (أ جـ) الذي هو عشرة فمن نقطة (ب) إلى نقطة (هـ) مثل خط (أ ب) وهو جذر مائتين أيضاً والباقي من العشرين هو من نقطة (هـ) إلى نقطة (د) فلما أردنا أن نجمع ما بقى من جذر المائتين بعد طرح العشرة وهو خط (جـ ب) إلى خط (هـ د) الذي هو عشرون الاإلا جذر مائتين فقطعنا من خط (ب هـ) مثل خط (جـ ب) وهو خط (ز هـ) وقد كان تبين لنا أن خط (أ ب) الذي هو جذر مائتين مثل خط (ب هـ) وأن خط (أ جـ) الذي هو (جـ ب) مثل الباقي من خط (ب هـ) هو العشرة مثل خط (ب ز) والباقي من خط (أ ب) الذى هو (جـ ب) مثل الباقي من خط (ب هـ) الذى هو (ز هـ) زدنا على خط (دهـ) خط (ز هـ) فتبين لنا أنه قد نقص من خط (ب د) الذي هو عشرون مثل خط (أ جـ) الذي هو عشرة وهو خط (ب ر) وبقى لنا خط (ز د) وهو عشرة وذلك ما أردنا أن نبين وهذه صورته.
 
وأما علة '''جذر مائتين الاإلا عشرة منقوصاً من عشرين الاإلا جذر مائتين''' فان صورة ذلك خط (أ ب) وهو جذر مائتين ومن (أ) إلى نقطة (جـ) هي العشرة المعلومة وتخرج من نقطة (ب) خطاً إلى نقطة (جـ) هي العشرة المعلومة وتخرج من نقطة (ب) خطاً إلى نقطة (د) وتجعل العشرين ونجعل من (ب) إلى نقطة (هـ) مثل جذر مائتين وهو مثل خط (أ ب) وقد تبين لنا أن خط (جـ ب) هو ما بقي من العشرين بعد القاء جذر المائتين فأردنا أن ننقص خط (جـ ب) من خط (هـ د) فأخرجنا من نقطة (ب) خطاً إلى نقطة (ز) وهو مثل خط (أ جـ) الذى هو العشرة فصار جميع خط (ز د) مثل خط (ز ب) وخط (ب د) وقد تبين لنا أن ذلك كله ثلاثون وقطعنا من خط (هـ د) مثل خط (ج ب) وهو خط (هـ ح) فتبين لنا أن خط (ح د) هو ما بقى من خط (ر د) الذي هو ثلاثون وتبين لنا أن خط (ب هـ) جذر مائتين وخط (ر ب) و (ب جـ) جذر المائتين أيضاً فلما صار خط (هـ ح) مثل خط (جـ ب) تبين لنا أن الذي نقص من خط (ز د) الذي هو ثلاثون جذراً مائتين هو ثماني مائة وذلك ما اردنا أن نبين وهذه صورته.
 
وأما '''مائة ومال الا عشرين جذرا مجموع إلى خمسون وعشرة اجذار الا مالين''' فلم تستقم له صورة لإنه من ثلاثة اجناس مختلفة أموال وجذور وعدد وليس معها ما يعادلها فتصور وقد تمكننا لما صورة لا تحسن فإما اضطرارها باللفظ فبين وذلك انك قد علمت ان معك مائة ومالا الا عشرين جذراً فلما زدت عليها خمسين وعشرة اجذار صارت مائة وخمسين ومالا الا عشرة اجذار لان هذه العشرة الاجذار المزيدة جبرت من العشرين الجذر الناقصة عشرة اجذار فبقيت مائة وخمسون ومال الا عشرة اجذار وقد كان مع المائة مال فلما نقصت من المائة المالين المستثنيين من الخمسين ذهب مال بمال وبقى عليك مال فصارت مائة وخمسين الا مالا والا عشرة اجذار وذلك ما أردنا أن نبين.