وإن كان سطح ا في جـ مثل مربع ب أعني سطح ب في د كانت نسبة ا إلى ب (يو) كنسبة د أعني ب إلى جـ وذلك ما أردناه
(يح)
كل مثلثين متشابهين فنسبة احدهما إلى الآخر كنسبة ضلعه إلى نظيره من الآخر مثناة
مثلا نسبة مثلثي ا ب جـ د ه ز المشابهين كنسبة ب جـ إلى ه ز مثناة وليكن ب ح ثالث ضلعي ب جـ ه ز في النسبة (ي) ونصل ا ح فمثلثا ا ب ح د ه ز متساويا زاويتي ب ه ومتكافئا الأضلاع نسبة ا ب إلى د ه أعني ب جـ إلى ه ز كنسبة ه ز إلى ب ح فهما متساويان (يه) ونسبة مثلث ا ب جـ إلى مثلث ا ب ح أعني مثلث د ه ز كنسبة ب جـ إلى ب ح (ا) التي هي نسبة ب جـ إلى ه ز مثناة وذلك ما أردناه
أقول ولا يختلف البيان لكون ب ح مساويا لـ ب جـ أو أطول منه
وبوجه آخر إن كان د ه مساويا لـ ا ب يساوي المثلثان (د ا) وثبت الحكم لأن تثنية نسبة التساوي هي نسبة التساوي وإن لم يكن مساويا له وليكن أقصر فنفصل من ب ا ب ح مثل د ه و ب ط مثل ه ز و نجعل ب ك ثالثا لهما في النسبة (ي) ونصل ح جـ ح ط ك ط ونبين يوازي ك ط ح جـ يتساوى نسبتي ب جـ ب ط ب ح ب ك ويساوي مثلثي ب ح ط ب ك جـ بذلك فيكون لكون مثلث ب ح ط كمثلث د ه ز ومثلثي ا ب جـ ك ب جـ على نسبة ا ب ك ب نسبة مثلثي ا ب جـ د ه ز كنسبة ب ا ب ك أعني ب ا ب ح بل ب ا د ه مثناة
(يط)
السطوح الكثيرة الأضلاع المتشابهة ينقسم بمثلثات متشابهة متساوية العدة ويكون نسبة سطح إلى سطح كنسبة ضلعيهما النظيرين مثناة
مثلاً سطحا ا ب جـ د ه ز ح ط ك ل متشابهان ونصل فينقسمان بها بمثلثات متساوية العدة متشابهة لأن زاوية ا كزاوية ز ونسبة ا ب إلى ز ح كنسبة ا ه إلى ز ل فمثلثا ا ب ه ز ح ل متشابهان (و) وتبقى زاوية ه ب جـ كزاوية ل ح ط ونسبة ب ه إلى ح ل أعني ب ا إلى ح ز كنسبة ب جـ إلى ح ط فمثلثا ه ب جـ ل ح ط أيضاً متشابهان وكذلك في مثلثي ه جـ د ل ط ك ولما كانت نسبة جميع الأضلاع النظائر واحدة ونسب مثلثات سطح إلى نظائرها كنسبة واحد
