وقوع فان د يقع إما خارج مثلث ا جـ ب بحيث يتقاطع خطان من الأربعة الخارجة من الطرفين قبل الالتقاء أو بحيث لا يتقاطعان وإما داخله وإما على أحد ساقي ا جـ جـ ب من غير اخراجه أو بعد ذلك وهذه خمسة أما الأول فقد مر بيانه وأما الثاني والثالث فيكونان هكذا ونصل فيهما د جـ ونخرج ضلعي ا د ا جـ إلى ه ز فيكون زاويتا ه د جـ ز جـ د متساويتين (ه) لتساوي ساقي ا د ا جـ ويلزم منه مثل البيان المذكور تساوي الكل وجزئه فيظهر الخلف وأما الرابع والخامس فيلزم فيها تطابق الخطين الخارجين من أحد الطرفين كخطي ب جـ ب د مثلاً وكون أحدهما أكبر من الاخر مع فرض تساويهما فيظهر الخلف أسرع وهذه صورتهما
(ح)
إذا ساوى كل واحد من أضلاع مثلث كل واحد من أضلاع مثلث آخر تساوت زواياهما كل لنظيرتها وتساوي المثلثان
فليكن المثلثان ا ب جـ د ه ز وقد ساوى ا ب د ه و ا جـ د ز و ب جـ ه ز نقول فزاوية ا تساوي زاوية د وزاوية ب زاوية ه وزاوية جـ زاوية ز والمثلث للمثلث وذلك لانا إذا توهمنا تطبيق ضلع على نظيره مثلاً ب جـ على ه ز والمثلث على المثلث وجب أن ينطبق الضلعان الباقيان على نظيريهما يظهر المطلوب وإلا فيلزم أن يقعا مباينين لهما مثل ه ح ز ح ويلزم منه خروج خطي د ه ز د و ه ح ز ح المساويين لهما جميعاً من طرفي ه ز من جهة بعينها مع اختلاف الملتقى هـذا خلف فإذن المطلوب ثابت وذلك ما أردناه
(ط)
نريد أن ننصف زاوية
كزاوية ب ا جـ فلنعين على ا ب نقطة د وكيف وقعت ونفصل من ا جـ ا ه مثل ا د (جـ) ونصل د ه ونرسم عليه مثلث د ه ز المتساوي الأضلاع (ا) ونصل ا ز فهو ينصف الزاوية وذلك لأن أضلاع مثلثي د ا ز ه ا ز متساوية بالتناظر فزواياهما متساوية (ح) بالتناظر فزاويتا ز ا د ز ا ه متساويتان وذلك ما أردناه
أقول والبيان يتم بان يبين أن نقطة ز إنما تقع بين خطى ب ا جـ ا وذلك لإنها لو لم تقع هناك لوقعت إمّا على أحدهما أو خارجا عنهما هكذا ويتساوى زاويتا ز د ه ز ه د لا محالة وكانت زاويتا ب د ه جـ ه د تحت القاعدة متساويتين (ه) فيلزم من ذلك أن يساوي الشيء جزءه أو يساوي ما هو أكبر من الشيء جزءه هذا خلف
وبوجه آخر
