إثبات المطلوب بمثل البيان المذكور
وبوجه آخر نرسم على مركز ا بعد ا ب دائرة ب د ونخرج ب جـ إلى د ونصل ا د فزاوية ا جـ ب الخارجة أعظم من زاوية ا د ب المساوية لزاوية ا ب د (ه)
(يط)
الزاوية العظمى من المثلث يوترها الضلع الأطول
فليكن زاوية جـ من مثلث ا ب جـ أعظم من زاوية ب نقول فضلع ا ب أطول من ضلع ا جـ وذلك لأنه إن لم يكن أطول منه فإما أن يساويه ويلزم منه تساوي زاويتي ب جـ (ه) وإما أن يكون أقصر منه يلزم أن تكون زاوية ب أعظم من زاوية جـ (يح) وليس كذلك فإذن ا ب أطول من ا جـ وذلك ما أردناه
(ك)
كل ضلعي مثلث فهما معا أطول من الثالث
مثلاً ضلعا ا ب ا جـ في مثلث ا ب جـ أطول من ضلع ب جـ فلنخرج ب ا ونجعل ا د مثل ا جـ (جـ) ونصل د جـ فيكون زاوية ب جـ د التي هي أعظم من زاوية ا جـ د المساوية لزاوية ا د جـ (ه) أعظم من زاوية ا د جـ فإذن وتر ب د أعني مجموع ب ا ا جـ أطول من وتر ب جـ (يط) وذلك ما أردناه
أقول وهذا الشكل بلقب بالحماري
وبوجه آخر ننصف زاوية ا بخط ا د (ط) فزاوية ا د جـ الخارج أعظم من زاوية ب ا د (يو) اعنى من زاوية جـ ا د فـ ا جـ أطول من جـ د (يط) وبمثل ذلك يبين أن ا ب أطول من ب د
وبوجه آخر إن لم يكن جميع ا ب ا جـ أطول من ب جـ كان إما مساوياً له وأصغر منه ونفصل ب د مثل ب ا (جـ) فبقى جـ د إما ساوياً لـ جـ ا أو أطول منه فإن كان مساوياً له كانت زاويتا جـ ا د ب ا د مساويتين لزاويتي جـ د ا ب د ا (ه) لمعادلتين لقائمتين (يح) وكان ب ا جـ متصلا على الاستقامة (يد) هذا خلف وإن كان جـ د أطول من جـ ا كانت زاوية جـ ا د أعظم من زاوية جـ د ا فجميع زاوية ب ا جـ أعظم من جميع زاويتي ب د ا جـ د ا اعني من قائمتين (يح) هذا خلف (يز)
(كا)
كل خطين خرجا من طرفي ضلع مثلث وتلاقيا داخلة فهما معا أقصر من ضلعيه الباقيين وزاويتهما أعظم من زاوية الضلعين
فليكن المثلث ا ب جـ وقد خرج من طرفي ب جـ خطا ب د جـ د وتلاقيا على د نقول فهما أقصر من ب ا ا جـ وزاوية ب د جـ أعظم من زاوية ب ا جـ ولنخرج ب د إلى ه
