أن أبعاد النقط التي هي مخارج الأعمدة الخارجة من خط ا جـ على خط ب د عن خط ب د متزائدة الأطول في جهة جـ فإذن خط ا جـ موضوع على التباعد عن خط ب د في جهة جـ وعلى التقارب منه في جهة ا ولكون زاوية د جـ ا أيضاً منفرجة نبين بمثل هذا التدبير أن خط ا جـ بعينه موضوع على التباعد عن خط ب د بعينه في جهة ا التي كان فيها بعينها موضوعا على التقارب منه فإذن هو متباعد متقارب معا من خط واحد في جهة واحدة من غير تلاق هذا خلف ثم ليكونا حادتين وتقيم الأعمدة المتوالية الا انا نبتدئ بإخراج العمود من نقطة ب على خط ا جـ فيقع فيما بين خطي ب جـ د لكون زاوية ا حادة إذا ووقع خارجا عنهما لا جتمع في مثلث قائمة ومنفرجة وهكذا إلى ان نخرج أعمدة ا ب ه ز ح ط المتناقصة الا طول على الولاء ثم نبين بمثل ما مر أن خط ا جـ موضوع على التقارب من خط ب د في جهة جـ وعلى التباعد عنه في جهة ا ونبين باستئناف العمل والتدبير انه موضوع على التباعد عنه في الجهة التي كان موضوعاً فيها على التقارب منه بعينه هذا خلف فإذن ثبت ان زاويتي ب ا جـ د جـ ا قائمتان
الرابع كل ضلعين متقابلين من سطح ذي أربعة اضلاع قائم الزوايا متساويان كضلعي ا ب جـ د من سطح ا ب د جـ القائم الزوايا وإلا فليكن جـ د أطول ونفصل د ه مثل ا ب (جـ) ونصل ا ه فتكون زاوتا ب ا ه د ه ا قائمتين لحدوثهما بين ا ب ه د المتساويين القائمين (جـ) على ب د وقد كانت زاويتا ب ا جـ د جـ ا قائمتين والكل كالجزء والخارجة كالداخلة وكلاهما خلف (يو) فإذن ثبت الحكم
الخامس كل خط يقع على عمودين قائمين على خط فإنه يصير المتبادلتين متساويتين والخارجة مساوية لمقابلتها الداخلة والداخلتين فى جهة معادلتين القائمتين مثلا وقع ا ب على عمودي جـ د ه ز القائمين على د ز وقطعهما على ح ط
فأقول أن متبادلتي د ح ط ه ط ح متساويتان وكذلك خارجة ا ح جـ وداخلة ا ط ه وان داخلتي جـ ح ط ه ط ح معا معادلتان لقائمتين وذلك لان ط ز ان كان مساويا لـ ح د كانت جميع الزوايا المحيطة بنقطتي ح ط قوائم وثبت الحكم وإلا فليكن ح د أطول ونفصل د ك مثل ز ط (جـ) ونصل ك ط ونفصل ط ل أيضاً مثل ك ح (جـ) ونصل ح ل فيكون سطح ح ل ط ك قائم الزوايا (جـ) ويكون في مثلثي ح ل ط ح ط ك ضلعا ح ك ل ط وزاوية ل مساوية
