لضلعي ط ك ك ح وزاوية ك فتكون زاويتا ك ح ط ح ط ز النظيرتان متساويتين وهما المتبادلتان (د) ولكون زاوية ط ح ك مساوية لزاوية ا ح جـ (يه) تكون زاويتا ا ح جـ ح ط ه متساويتين وهما الخارجة والداخلة لكون زاوية جـ ح ط مع زاوية ا ح جـ معادلة لقائمتين (كجـ) فهي مع زاوية ح ط ه معادلة لقائمتين وهما لا داخلتان وذلك ما أردناه وهنالك استبان ان كل خط يقع عموداً على أحد هذين العمودين فهو عمود على الاخر
السادس إذا اتقاطع خطان غير محدودين على غير قوائم و قام على أحدهما عمود فإنه ان اخرج قاطع الاخر في جهة الحادة فليتقاطع ا ب جـ د على ه ولتكن زاوية ا ه جـ التي يلي ا حادة وجارتها التي يلي ب منفرجة ولنقم على جـ د عمود ز ح (يا)
فأقول انه ان اخرج قاطع ا ب في جهة ا فلنعين على ا ه نقطة ط ونخرج عمود ط ك على جـ د (يب) فلا يخلو إما أن يقع فيما بين نقطتي زا ه أو على نقطة ز منطبقا على ح ز أو خارجا عن ه ز فإن وقع فيما بين ه ز فلنفرض ص خطا ونأخذ منه امثالا لـ ه ك على الولاء نريد جميعها على ه ز وهى ق ص ص ش ش ن ن ث ونفصل من ه ا امثالا لـ ه ط بتلك العدة (جـ) وهى ه ط ط س س ع ع ف ونخرج من نقط س ع ف اعمدة س ل ع م ف ن على جـ د ومن ط عمود ط ي على س ل (يب) فيكون في مثلثي ه ط ك ط ي س زاويتا ه ط ك ط س ي الداخلة والخارجة متساويتان وكذلك زاويتا ه ك ط ط ى س القائمتان وضلعا ه ط ط س فيكون ي ط ا لمساوي لـ ل ك لكونهما متقابلين في سطح ط ي ل ك القائم الزوايا مساويا لـ ه ك (كو) وبمثل ذلك نبين أن كل واحد من ل م م ن أيضاً مساو لـ ه ك فجميع أقسام ه ن متساوية ومساوية لأقسام ق ث وبتلك العدة فـ ه ن ق ث متساويان و ق ث أطول من ه ز فـ ه ن اطول من ه ز فعمود ف ن قد وقع خارجا عما بين نقطتي ز ه وصار ح ز داخل مثلث ف ن ه فإذن إذا اخرج عمود ح ز الموازي لعمود ف ن إلى أن يخرج من المثلث قاطع ا ب لا محالة في جهة ح وهي التي تلي الحادة وإما أن وقع عمود ط ك على نقطة ز منطبقا على عمود ح ز أو خارجا عما بين ز ه كان ثبوت الحكم اظهر فإذن الحكم ثابت
السابع كل خطين وقع عليهما خط وكانت الداخلتان في جهة أصغر من قائمتين فإنهما ان اخرجا في تلك الجهة تلاقيا فليكن ا ب جـ د خطين وقع عليهما ه ز وكانت داخلتا ا ه ز جـ ز ه
