ان ط ي أيضاً مساو لـ ا ح
السابع كل زاوية فرضت نقطة فما بين خطها فإنه يمكن أن يوصل بينهما بخط مستقيم يمر بتلك النقطة فلنفرض نقطة د بين خطى ا ب ب جـ المحيطين بزاوية ا ب جـ وندير على مركز ب ببعد ب د قوس ه د ز المارة بنقطة د ونصل وتر ه ز وننصف زاوية ه ب ز بخط ب ح (ط) إلى حادتين فيكون في مثلثي ه ب ح ز ب ح ضلعا ه ب ب ح وزاوية ه ب ح مساوية لضلعي ز ب ب ح وزاوية ز ب ح فتكون زاويتا ب ح ه ب ح ز متساويتين (د) بل قائمتين (يجـ) ونخرج ب ح إلى ي فيقطع قوس ه د ز على ط ونأخذ لـ ب ح أضعافا نزيد مجموعها على ب ط ولتكن تلك الأضعاف خط ع س ونفصل من ضلع ب ا امثالا لـ ب ه تكون عدتها عدة تلك الأضعاف وهي ب ه ه ك ونخرج من أطراف تلك الخطوط وهي ه ك أعمدة ه ح ك ل على ب ي (يب) فيفصل منه ب ح ح ل متساوية (و) ويكون مجموعها المساوي لـ ع س أطول من ب ط فيكون موقع عمود ك ل على ب ي وهو نقطة ل خارجاً عن ب ط ونفصل من ب جـ ب مثل م ب ك (جـ) ونصل م ل فيكون في مثلثي ب ك ل ب م ل ضلعا ك ب ب ل وزاوية ك ب ل مساوية لضلعي م ب ب ل وزاوية م ب ل فيتساوى زاويتا ب ل ك ب ل م (د) و ب ل ك قائمة فـ ب ل م قائمة و ك ل م خط مستقيم (يد) ونصل ب د ونخرجه إلى ن ونعمل على نقطة د من خط ن د زاوية ن د ف مثل زاوية د ن ل (كجـ) فيكون خطا ف د ك م متوازيين (كز) لتساوي متبادلتيهما ونخرج ف د حتى يخرج من مثلث ب ك م على نقطة ف ص فيكون خط ف د ص هو الموصول بين ضلعي ا ب ب جـ المار بنقطة د
الثامن وهو لأثبات القضية وليكن الخطان ا ب جـ د والواقع عليهما ب د والداخلتان اللتان أصغر من قائمتين هما ا ب د جـ د ب ونخرج ب د في الجهتين إلى ه ز ونفصل من ب ا ب ح مثل ب د (جـ) فزاوية ا ب د مع زاوية جـ د ب أصغر من قائمتين ومع زاوية ا ب ه كقائمتين (يجـ) تبقى زاوية ا ب ه أعظم من زاوية جـ د ب فنعمل على ب من ب ح زاوية ح ب ط مثل زاوية جـ د ب (كجـ) ونصل بين خطى ط ب ب ز المحيطين بزاوية ب بخط ط ح ي ماراً بنقطة ح (ز) فزاوية ط ح ب الخارجة من مثلث ي ح ب أعظم زاوية ح ب د (يو) ونعمل على نقطة ح من خط ب ح زاوية ب ح ك مثل زاوية ا ب د
