وتساوى الزوايا يساوى مثلثي ب ن س ب ى ح فيظهر ان مجموع مثلثي م ن د ب د ك اعنى مجموع مربع م ك ومثلث ب ح ى يساوى مثلث ه جـ ى نزيد على الاول مثلث زد ب وعلى الاخير مثلث ط د ه نجعل سطح ب د ط ى مشتركا زائدا ان كان ا ب اطول او ناقصا بعضه وزائدا بعضه ان كان أقصر يصير مربعا م ك ز ط مساويين لمربع ب ه وقس على هذه الأشكال أمثالها المختلفة باختلاف الشروط
فان اشترطنا ان يكون المربعات جميعا على الاضلاع أنفسها في احدى جهتيها وقع على ثمانية اوجه لمامر
فمنها ما يكون فيه مربع الوتر منطبقا على المثلث فقط فلنرسمها ولنخرج ضلعي ب ا جـ د إلى ان يخرجا على المربع على ن م فيقعان على ه د ان تساويا أو على أحد الضلعين ان اختلفا ونخرج من د ه عمودي د ز ه ط عليهما ونخرجهما ومن ب جـ عمودي ب ح جـ ك الى ان يتلاقيا على ح ك وليكن على تقدير الاختلاف ب ا اطول فنخرج من ه عمود ه ل على جـ ز فيقع على غير نقطة ا التي يقع عليها على تقدير التساوي ويكون سطحا ل ك ا ح متوازيي الأضلاع بل مربعين مساويين لمربع ب ه على تقدير التساوي وذلك ظاهر
واما على تقدير الاختلاف فسطحا ا ك ا ح مربعان وليس ل ك بمربع ومثلثات ا ب جـ ك ه جـ ل جـ ه ح ب د متساويات متساويات الأضلاع وزوايا النظائر ومثلثا ا جـ م ل ن ه متساويان لتساوى زواياهما وتساوى ضلعي ا جـ ل ه فـ جـ م ه ن متساويان و يبقى م ه ن د متساويين ويكون لذلك ولتساوى الزوايا مثلثا ه م ط د ن ز ايضا متساويين ولما كان مثلثا ا جـ م ل ه ن متساويين فاذا جعلنا سطح ل ا م ه مشتركا كان سطح ن ا م ه مساويا لمثلث ل جـ ه اعنى مثلث ه جـ ك اعنى مجموع سطح م جـ ك ط ومثلث ن د ز واذا اضفنا اليهما مثلثي ا ب جـ جـ ب د المتساويين صار مجموع سطح ن ا م ه ومثلث ا ب جـ مساويا لمجموع سطح م جـ ك ط ومثلثي د ن ز ح ب د وإذا جعلنا سطح د ب ا ن ومثلث ا جـ م مشتركا حصل من الاول مربع ب ه ومن الاخير مربعا ا ح ا ك فثبت الحكم وقس عليه إن كان ب ا أقصر
ومنها ما يكون المنطبق فيه مع مربع الوتر مربع احد الضلعين مثلا ا ب اما على تقدير التساوي فالحكم بين لتساوى المثلثات ويكون كل اثنين منها كمربع احد الضلعين وكون الاربعة كمربع الوتر واما ان كان ا ب أطول رسمنا
