ا ب ا جـ كما في الأصل أو منطبقاً على إحدهما أو خارجاً عنهما هكذا والكل ظاهر مما مر وقد استعمل فيه مقدمة يتبين في أحد شكلي ا ه من المقالة الخامسة
(ك)
الزوايا الواقعة في قطعة واحدة متساوية
مثلاً كزاويتي جـ ا د جـ ه د الواقعتين في قطعة جـ ه ا د من دائرة ا ب وليكن المركز ز ونصل ز جـ ز د فلان زاوية جـ ز د ضعف كل واحد من الزاويتين يكونان متساويتين وذلك ما أردناه
أقول هذا إذا كانت القطعة أكبر من نصف الدائرة اما إذا لم يكن كذلك فلا يتبين الحكم بهذا الوجه إذ لا يكون هناك زاوية مركزية على قوس جـ د والوجه فيه أن نبين أن زاويتي ه جـ ا ه د ا الواقعتين في قطعة ه جـ د ا التي هي أكبر من النصف متساويتان ومتقابلتا ح متساويتان (يه ا) فيبقى في مثلثي ا ح د ه جـ ح زاويتا د ا ح جـ ه ح متساويتين (لب ا)
(كا)
كل متقابلتين زوايا ذي أربعة أضلاع يقع في دائرة فهما معادلتان لقائمتين
مثلاً كزاويتي ب ا د ب جـ د من ذي أربعة أضلاع ا ب جـ د والواقعة في دائرة ا جـ وذلك لأنا إذا وصلنا ا جـ ب د كانت زاويتا د ا جـ د ب جـ الواقعتان في قطعة د ا ب جـ متساويتين (ك) وكذلك زاويتا ب ا جـ ب د جـ الواقعتان في قطعة ب ا د جـ فجميع زاوية د ا ب يساوي مجموع زاويتي د ب جـ ب د جـ ونجعل زاوية ب جـ د مشتركة يصير مجموع زاويتي د ا ب ب جـ د المتقابلتين مساوياً لمجموع زوايا مثلث ب جـ د المعادلة لقائمتين وذلك ما أردناه
(كب)
لا يمكن أن يقوم على خط واحد في جهة واحدة قطعتان متشابهتان إحديهما أعظم من الاخرى
وإلا فليقع على ا ب قطعتا ا جـ ب ا د ب و ا د ب أعظم ونعلم على ا جـ ب نقطة ه كيف اتفق ونصل ا ه ونخرجه إلى ز ونصل ب ه ب ز فزاويتا ا ه ب ا ز ب الخارجة والداخلة متساويتان لتشابه القطعتين هذا خلف (يو ا) فالحكم ثابت وذلك ما أردناه
(كجـ)
القطع المتشابهة الكائنة على خطوط متساوية متساوية
مثلاً كقطعتي ا ه ب جـ ز د المتشابهتين الكائنتين على ا ب جـ د المتساويين وذلك لأنا إذا توهمنا
