لزاويتي ب جـ ز ب ز جـ المتساويتين فإذن كل واحدة من زاويتي جـ ز د جـ د ز من مثلث جـ ز د المتساوي الساقين يساوي مثلثي زاوية جـ وهو المطلوب وهذا المثلث يعرف بمثلث المخمس
(يا)
نريد أن نعمل في دائرة مخمساً ونعني بالمخمس والمسدس وأمثالهما متساوي الأضلاع والزوايا
مثلاً في دائرة ا ب جـ فنعمل مثلث مخمسٍ (ي) وهو د ه ز وفي دائرة ا ب جـ مثلثاً تساوي زواياه زوايا مثلث د ه ز وهو مثلث ا ب جـ وننصف زاويتي ا ب جـ ا جـ ب (ط ا) بخطي ب ح جـ ط ونصل ا ح ح جـ ا ط ط ب فسطح ا ط ب جـ ح مخمس وذلك لأن زوايا ب ا جـ ا ب ح ح ب جـ ا ح ط ط جـ ب الخمس متساوية وقسيها متساوية (كه جـ) وأوتارها متساوية (يح جـ) فأضلاع المخمس متساوية وكل زاوية من زواياه وقعت على ثلاث من القسي لخمس المتساوية فالزوايا أيضاً مساوية (كو جـ) وذلك ما أردناه
أقول وبوجه آخر ليكن المركز ز ونخرج ز ا كيف اتفق وعلى ز منه زاوية ا ز ب مثل احدى زاويتي قاعدة مثلث المخمس (كجـ ا) وعلى ز من ب ز زاوية ب ز جـ مثلها وعلى ز من ز جـ زاوية جـ ز د مثلها وعلى ز من د ز زاوية د ز ه مثلها ولأن زوايا المثلث قائمتان وزاوية الرأس خمسا قائمة تكون تلك الزاوية أربعة أخماس قائمة وأربع منها ثلاث قوائم وخمس فتبقي زاوية ا ز ه أيضاً أربعة أخماس قائمة وتكون الزوايا المخمس متساوية وكذلك قسيها وأوتارها فإذن إذا وصلنا أوتار ا ب جـ د ه كان مخمسا متساوي الأضلاع ومتساوي الزوايا لتساوي زوايا المثلثات
(يب)
نريد أن نعمل على دائرة مخمساً
فنرسم فيها مخمس ا ب جـ د ه (يا ا) ثم نخرج من نقط الزوايا الخمس خطوطاً خمسة مماسة للدائرة (يو جـ) متلاقية على نقط ز ح ط ك ل فيحصل المخمس وليكن المركز م ونصل بينها وبين هذه النقط العشر أعني زوايا المخمسين فلان ز جـ ز د الخارجين من ز المماسين للدائرة عن جنبيه متساويان لما مر و م جـ و م د متساويان و م ز مشترك تكون زوايا مثلثي م ز جـ م ز د النظائر متساوية (ح ا) وكل واحدة من زاويتي ز م جـ ز م د نصف زاوية جـ م د وهي مساوية لزاوية د م ه (كو جـ) لتساوي قوسي جـ د د ه وكذلك نبين أن مثلثي د م ح ه م ح متساوي الزوايا النظائر
