ب ه جـ د فمثلثا د ب ه د جـ ه اللذان على قاعدة د ه وبين متوازيي د ه ب جـ متساويان (لز ا) ونسبة مثلث ا د ه إليهما نسبة واحدة (ز ه) لكن نسبته إلى مثلث د ب ه كنسبة ا د إلى د ب (ا) ونسبته إلى مثلث د جـ ه كنسبة ا ه إلى ه جـ فنسبة ا د إلى د ب (يا ه) كنسبة ا ه إلى ه جـ وأيضاً لتكن نسبة ا د إلى د ب كنسبة ا ه إلى ه جـ ونسبة ا د إلى د ب كنسبة مثلث ا د ه إلى مثلث ه ب د (ا) ونسبة ا ه إلى ه جـ كنسبة مثلث ا د ه إلى مثلث د جـ ه فنسبة مثلث ا د ه إلى المثلثين نسبة واحدة (يا ا) فهما متساويان (ط ه) فـ د ه ب جـ متوازيان (لط ا) وذلك ما أردناه
أقول وبوجه آخر إن كان د ه موازياً لـ ب جـ ولم يكن نسبة ا د إلى د ب كنسبة ا ه إلى ه جـ فلتكن كنسبة ا ه إلى ه ز ونصل ب ز د ز ونبين كما مر يساوي مثلثي د ب ه د ز ه ثم توازي د ه ب ز (لط ا) فـ ب ز ب جـ الموازيين لـ د ه متوازيان (ل) وهما متقاطعان هذا خلف وأيضاً إن كانت نسبة ا د إلى د ب كنسبة ا ه إلى ه جـ وليس ب جـ موازيا لـ د ه فليكن د ز موازيا له ونبين بمثل ما بيان أن نسبة ا د إلى د ب كنسبة ا ز إلى ز جـ (يا ه) فنسبة ا ه إلى ه جـ كنسبة ا ز إلى ز جـ و ا ه أصغر من ا ز فـ ه جـ أصغر من ز جـ (يد ه) هذا خلف
(جـ)
كل مثلث خرج من إحدى زواياه خط إلى وترها فإن كان الخط منصف لتلك الزاوية كانت نسبة أحد قسمي الوتر إلى الآخر كنسبة أحد ضلعي الزاوية إلى الآخر على الولاء فإن كانت النسبة هكذا كان الخط منصف للزاوية
وليكن المثلث ب ا جـ والخط الخارج من زاوية ا هو ا د والمخرج من جـ جـ ه موازيا لـ د ا (لا ا) ونخرج ب ا إلى أن يتلاقيا على ه فزاويتا ب ا د ب ه جـ الخارجة والداخلة متساويتان (كط ا) وزاويتا جـ ا د ا جـ ه المتبادلتان متساويتان ولنفرض أولاً زاوية ب ا جـ منصفة بخط ا د نقول فنسبة ب د إلى د جـ كنسبة ب ا إلى ا جـ وذلك لأن زاويتي ا ه جـ ا جـ ه تكونان حينئذ مساويتين وكذلك (و ا) ا ه ا جـ فنسبة ب د إلى د جـ كنسبة ب ا إلى ا ه (ب) أعني إلى ا جـ وأيضاً لنفرض نسبة ب د إلى د جـ كنسبة ب ا إلى ا جـ نقول فالزاوية منصفة لأن نسبة ب د إلى د جـ كنسبة ب ا إلى ا ه (ب) فنسبة ب ا إلى ا ه و ا جـ واحدة فهما متساويان (ط ه) فزاوية ب ه جـ أعني زاوية ب ا د مساوية لزاوية ا جـ ه (ه ا) أعني زاوية
