في مثلثي ا ب جـ د ه ز نسبة ا ب إلى د ه كنسبة ا جـ إلى د ز ونسبة ب جـ إلى ه ز ولنعمل على ه من ه ز زاوية ز ه ح مثل زاوية ب (كجـ ا) وعلى ز منه زاوية ه ز ح مثل زاوية جـ ونخرج الضلعين إلى أن يتلاقيا على ح فتكون زوايا مثلثي ا ب جـ ح ه ز النظائر متساوية ونسبة ب جـ إلى ه ز كنسبة ب ا إلى ه ح (د) وكانت كنسبة ب ا إلى ه د فـ ح ه د متساويان (ط ه) وكذلك نبين أن ز ح ز د متساويان فزوايا مثلث ه د ز مساوية لزوايا مثلث ح ه ز (ح ا) أعني زوايا مثلث ا ب جـ على التناظر وذلك ما أردناه
أقول وبوجه آخر وليكن المثلثان كما وضعتهما في آخر الشكل المتقدم ا ب جـ د ح ه فإن كانا متساويي الأضلاع النظائر ثبت الحكم وإن اختلفا فليكن ا ب أطول من د ح ونفصل ب ز مثل ح د و ب ط مثل ح ه و ا ك مثـل د ه ونصل ز ط ط ك فنسبة ا ب إلى د ح أعني إلى ز ب كنسبة جـ ب إلى ح ه أعني ب ط وإذا فصلنا كانت نسبة ا ز إلى ز ب كنسبة جـ ط إلى ط ب (يز ه) فـ ز ط مواز لـ ا جـ (ب) وبمثله نبين أن ط ك مواز لـ ب ا فيكون ا ك مثل ز ط (لد ا) وأضلاع مثلثي ب ز ط ح د ه النظائر متساوية لكن زوايا مثلثي ب ز ط ب ا جـ النظائر متساوية فزوايا مثلثي ب ا جـ ح د ه النظائر متساوية (ح ا)
(و)
إذا تساوت زاويتا مثلثين وتناسيت الأضلاع المحيطة بهما تساوت باقي زواياهما
فلتكن زاويتا ا د من مثلثي ا ب جـ د ه ز متساويتان ونسبة ا ب إلى د ه كنسبة ا جـ إلى د ز ولنعمل على د من خط د ز زاوية ز د ح مثل زاوية ا وعلى ز منه زاوية د ز ح مثل زاوية جـ ونخرج الضلعين إلى ح فزوايا مثلثي ا ب جـ د ح ز متساوية فنسبة ا جـ إلى د ز كنسبة ا ب إلى د ح (د) وكانت كنسبته إلى د ه فـ د ح د ه متساويان (ح ه) وكذلك زاويتا د المساويتين لزاوية ا فزوايا مثلثي ه د ز ح د ز أعني ب ا جـ النظائر متساوية (د ا) وذلك ما أردناه
أقول وبوجه آخر إن كان ب ا ا جـ مساويين لـ ه د د ز ثبت الحكم (د ا) وإلا فليكن ب ا ا جـ أطول ونفصل ا ط كـ د ه و ا ك كـ د ز ونصل ط ك فنسبة ب ا ا ط كنسبة جـ ا ا ك وبالتفصيل نسبة ب ط ط ا كنسبة جـ ك ك ا (يز ا) فـ ب جـ ط ك متوازيان (ب) وزوايا مثلثي ب ا جـ ط ا ك أعني ه د ز النظائر متساوية (كط ا)
