ليكن ا ب س مثلثاً لهُ زاويتان ا ب س، ا س ب متساويتان فضلعاهُ ا ب، ا س هما متساويان أيضاً
وإلا فأحدهما أطول من الاخر. فلنفرض ا ب أطولهما ولنقطع منهُ جزءاً د ب يعدل ا س أقصرهما (ق ٣ ك ١)
فلنا في المثلثين د ب س، ا ب س ضلعٌ من الوّاحد د ب يعدل ضلعاً من الآخر ا س، والقاعدة ب س مشتركة بينهما فالضلعان د ب، ب س يعدلان ا س، س ب كل واحدٍ نظيرَهُ.
والزاوية د ب س تعدل ا س ب فالقاعدة د س تعدل القاعدة ا ب والمثلث د ب س يعدل المثلث ا ب س (ق ٤ ك ١)
أي الأصغر يعدل الأكبر وذلك محال فلا يمكن ان يكون ا ب، ا س غير متساويين بل هما متساويان.
وذلك ما كان علينا أن نبرهنه
فرعٌ. كل مثلث متساوي الزوايا هو متساوي الأضلاع أيضاً
القضية السابعة.ن
لا يكون على قاعدة واحدة وعلى جانب واحد منها مثلثان الضلعان منهما المنتهيان في طرف واحد من القاعدة متساويان والمنتهيان في طرفها الآخر متساويان أيضاً
ليكن ا س ب، ا د ب مثلثين على قاعدة واحدة ا ب وعلى جانب واحد منهما والضلعان ا س، ا د المنتهيان في ا متساويان المنتهيان في ب الطرف الآخر من القاعدة لا يكونان متساويين
ارسم الخطّ س د (حسب أولى الممكنات)
فإذا كان ب س، ب د متساويين وكان رأس أحد المثلثين خارج الاخر فلنا ا س، ا د متساويان فالزاوية ا س د تعدل الزاوية ا د س (حسب ق ٥ ك ١)
والزاوية ا س د أنما هي أكبر من الزاوية ب س د، فالزاوية ا د س أيضاً أكبر من ب س د، وبالأحرى الزاوية ب د س أكبر من ب س د وعلى
