ليكن ا ب س مثلثاً ولتكن الزاوية ا ب س أكبر من ا س ب فيكون الضلع ا س أطول من ا ب، وإلا فالضلع ا س يعدل ا ب، أو هو أقصر منه ولا يمكن أن يعدل ا ب لإنه عند ذلك كانت الزاويتان ا س ب، ا ب س متساويتين (ق ٥ ك ۱)
وقد فرض أن ا ب س أكبر من ا س ب ولو كان أقصر لكانت ا ب س أصغر من ا س ب (ق ۱۸ ك ۱)
فبالضرورة يكون ا س أطول من ا ب
ضلعان من مثلث هما معاً أطول من ضلعهِ الثالث
ليكن ا ب س مثلثاً فضلعان منه معاً أطول من ضلعه الثالث.
أي الضلعيان ب ا، ا س معاً أطول من ب س و ا ب، ب س معاً أطول من ا س و ب س، س ا معاً أطول من ا ب
أخرج ب ا إلى د واجعل ا د يعدل ا س (ق ۲ ك ۱)
وارسم د س فيما أكبر من ا س د فهي أيضاً أكبر من ا د س فيكون الضلع ب د أطول من ب س (ق ۱۹ ك ۱)
ولكن ب د يعدل ب ا مع ا س فالضلعان ب ا، ا س معاً هما أطول من ب س وهكذا في كل ضلعين من المثلث
تعليقة. يبرهن ذلك بدون أخراج ضلعٍ من المثلث لأن ب س هو البعد الأقرب بين النقطة ب والنقطة س فيكون ب س أقصر من ب ا، ا س أي ب ا، ا س معاً أطول من ب س
إذا رُسِمَ من طرفَي ضلع مثلث خطان مستقيمان إلى نقطة داخل المثلث
