ليقع الخط المستقيم ي ف على الخطين المسقيمين ا ب، س د وليجعل معهما الزاوية الخارجة ي غ ب أن تعدل الداخلة المتقابلة على ذلك الجانب غ ح د أو ليجعل الداخلتين على جانب واحد ب غ ح، غ ح د إن تعدلا قائمتين فالخطان ا ب، س د متوازيان.
فمن حيث أن ي غ ب تعدل غ ح د وتعدل أيضاً ا غ ح (ق ١٥ ك ١)
فالزاوية ا غ ح تعدل غ ح د وهما متبادلتان ولذلك (ق ٢٧ ك ١)
ا ب يوازي س د وأيضاً من حيث أن ب غ ح، غ ح د تعدلان قائمتين حسب المفروض و ا غ ح، ب غ ح تعدلان قائمتين (ق ١٣ ك ١)
فالزاويتان ب غ ح، ا غ ح تعدلان ب غ ح، غ ح د اطرح المشتركة ب غ ح فالباقية ا غ ح تعدل الباقية غ ح د وهما متبادلتان ولذاك (ق ٢٧ ك ١) ا ب يوازي س د وأيضاً من حيث أن ب غ ح، غ ح د تعدلان قائمتين حسب المفروض و ا غ ح، ب غ ح تعدلان قائمتين (ق ١٣ ك ١)
فالزاويتان ب غ ح، ا غ ح تعدلان ب غ ح، غ ح د أطرح المشتركة ب غ ح فالباقية ا غ ح تعدل الباقية غ ح د وهما متبادلتان. ولذلك ا ب و س د متوازيان
فرعٌ. إذا ان كان خطان مستقيمان عموديَّين على خط مستقيم ثالث فهما متوازيان
القضية التاسعة والعشرون.ن
إذا وقع خطّ مستقيم على خطَّين مستقيمين متوازيين فالزاويتان المتبادلتان الحادثتان متساويتان والزاوية الخارجة تعدل الداخلة المتقابلة على جانب واحد والداخلتان على جانب واحد تعدلان قائمتين
ليقع الخط المستقيم ي ق على المتوازيين ا ب، س د فالزاويتان المتبادلتان ا غ ح، غ ح د متساويتان والخارجة ي غ ب تعدل الداخلة المتقابلة على ذلك الجانب غ ح د والداخلتان على جانب واحد ب غ ح، غ ح د تعدلان قائمتين
فإن لم تكن ا غ ح، غ ح د متساويتين فليرسم الخط ك غ حتى أن ك غ ح تعدل غ ح د واخرج ك غ إلى ل فالخط ك ل يوازي س د (ق ٢٧ ك ١) و ا ب أيضاً
