مفتاح الحساب/المقالة الثانية/الباب الخامس

مفتاح الحساب/المقالة الثانية
الباب الخامس
المؤلف: غياث الدين الكاشي



الباب الخامس
في توحيد المخارج


ويقال لهذا العمل ضرب التأريخ وهو طلب أقل عدد يصح منه الكسور المفروضة والعمل فيه أن يرسم جداول طولية ونضع كل كسر من الكسور التي نريد أن نوحد مخارجها في أعلى طول كل جدول والمخرج في أسفله بمسافة بحيث يكون المخارج متوالية في التزايد والتناقص ثم نظر إلى المخارج فما كان منها داخلا في بعضها أعني عادا له نخط فوقه خطاً كم كانت ونضع فوق الخط صفراً ثم ينظر إلى المخارج الأعظم ونعرف حاله مع كل واحد من المخارج الباقية فما كان مبايناً له نتركه بحاله وما كان مشاركاً له نأخذ جزء وفقه أي نقسمه على العدد العاد لهما ونضعه فوقه بعد أن نخط بينهما بخط وهكذا إلى آخر المخارج ثم نعرف حال مخرج آخر مع الباقي مع المخارج أعني ما كان في حكم الثبات ونعمل ما ذكرنا

وهكذا إلى أن نعرف حال جميع المخارج مع الباقية فنضرب ما بقي فوق الخطوط الفواصل بعضها في بعض فحاصل الضرب الأخير هو المخرج المشترك تصح منه تلك الكسور فنضعه في كل جدول بعد أن نخط بينهما وبين المخارج الأصلية خطاً عرضياً يقطع جميع الطولية ثم نقسمه على كل واحد من المخارج الأصلية التي وضعت في أسافل الجدول ونضع الخارج من القسمة في ذلك الجدول تحت الكسر ونضربه فيه ونضع الحاصل فوق المخرج المشترك فهو ذلك الكسر المأخوذ من المخرج المشترك ونضع فوقه صفراً مكان الصحاح ونخط فوق الأصفار خطاً عرضياً يقطع جميع الطوليّة للتمييز

مثاله أردنا أن نأخذ نصفاً وثلثاً وربعاً وخُمسين وخمسة أسداس و ثلاثة أسباع وسبعة أثمان وتسعين وثلاثة أعشار من مخرج واحد فرسمنا الجداول الطولية ووضعنا الكسور فيها كما ذكرنا هكذا

1 1 1 2 5 3 7 2 3
1260 840 630 504 460 360 315 280 252
0 0 0 0 0 0 0 0 0
1260 840 630 1008 2100 1080 2205 560 756
2520 2520 2520 2520 2520 2520 2520 2520 2520
0 0 0 0 0 7 4 9 10
2 3 4 5 3 8
6

فنظرنا إلى المخارج فوجدنا الأثنين والثلاثة والأربعة والخمسة داخلة في المخارج الباقية بعضها في بعض وضعنا فوق كل واحد منها صفراً بعد الفاصلة فبقيت الستة والسبعة والثمانية والتسعة والعشرة فعرفنا حال أعظم المخارج وهو العشرة مع التسعة فكانت مباينة لها تركناها بحالها ثم مع الثمانية فكانت مشاركة لها في النصف فوضعنا نصفها وهو الأربعة فوقها بعد الفاصلة ثم مع السبعة فكانت متباينة لها تركناها بحالها ثم مع الستة فكانت مشاركة لها في النصف نوضعنا نصفها وهو الثلاثة فوقها بعد الفاصلة وتم العمل بالعشرة ثم عرفنا حال التسعة مع الأربعة التي في جنبها فكانت مباينة لها تركناها بحالها مع السبعة فكانت كذلك ثم مع الثلاثة فكانت داخله فيها وضعنا فوقها صفراً بعد الفاصلة وتمّ العمل بالتسعة ثم عرفنا حال الأربعة مع السبعة فكانت مبانية لها تركناها بحالها وتمّ العمل لأنا عرفنا حال كل مخرج مع الآخر فبقيت من المخارج سبعة وأربعة وتسعة وعشرة ضربنا السبعة في الأربعة حصل 28 ضربناه في التسعة حصل 252 ضربناه في العشرة حصل 2520 وهو مخرج المشترك لتلك الكسور فخططنا فوق الخطوط الفواصل خطاً عرضياً بحيث قطع جميع الطولية ووضعنا المخرج المشترك فوقه في كل جدول وقسمناه على كل واحد من المخارج الأصلية ووضعناه الخارج من كل قسمة تحت الكسر وضربناه فيه ووضعنا الحاصل فوق المخرج المشترك في ذلك الجدول فهي الكسور المأخوذة من المخرج المشترك ولو نضرب لكل كسر المخارج الباقية بعضها في بعض غير المخرج ونضع الحاصل الأخير تحت ذلك الكسر ونضربه فيه لحصل أيضاً الكسر المأخوذ من المخرج المشترك والمراد بقولنا غير المخرج أن مخرج الكسر المطلوب أن وجد في المخارج الباقية بعينه لم نضرب فيه شيء وإن لم يوجد فنقسم من المخارج الباقية ما يشاركه أو يداخله مخرج الكسر المطلوب عليه فما خرج بضربه في المخارج الباقية بعضها في بعض

مثلاً أردنا أن نأخذ الكسر الخامس من المخرج المشترك في المثال المذكور وهو خمسة أسداس ولما لم يوجد مخرجه وهو ستة في المخارج الباقية بعينه قسمنا التسعة التي يشاركها عليها خرج واحد ونصف ضربناه في العشرة حصل 15 ضربنا في الأربعة حصل 60 ضربناه في السبعة حصل 420 وضعنا تحت ذلك الكسر وضربناه فيه حصل 2100 وضعناه فوق المخرج المشترك وهو المطلوب

نوع آخر نضرب أحد المخارج في الأخران كانا متباينين بعد حذف ما هو داخل في الآخر وإلا نضرب أحدهما في جزء وفقه وكذا الحاصل مع مخرج أخر إلى أن يتم مثاله في العمل المذكور ضربنا الستة في السبعة حصل 42 ضربناه في نصف الثمانية أعني أربعة حصل 168 ضربناه في ثلث التسعة أعني ثلاثة حصل 504 ضربناه في نصف العشرة حصل 2520 وهو المطلوب والباقي كما سبق