مفتاح الحساب/المقالة الخامسة/الباب الثاني
في استخراج المجهول بطريق الخطأين
وهو يصح إذا سئل عن مجهول عمل عليه كذا وكذا صار عدد امعينا مثل أن نصف أو ضعوف أو زيد عليه ونقص منه نصفه أو ضعفه أو ضرب في عدد معلوم غير مجهول وإن أوتي في المسئلة ضرب مجهول في مجهول آخرا وقسمة مجهول على مجهول آخر أو احتيج إلى استخراج جذر أو كعب مثلهما لا يصحّ به وهو أن نفرض المجهول أي عدد شيئا ونعمل عليه ما فهمنا من كلام السائل حتى يحصل حاصل فإن وافق العدد المعلوم فهو المطلوب وإلا نأخذ التفاضل بين ما حصل من عملنا والعدد المعلوم وهو المسمى بالخطأ الأول ثم نفرض المجهول عدد آخر ونعمل عليه كما عملنا حتى يحصل حاصل ثان فإن وافق المعلوم فهو المطلوب، وإلا فتأخذ التفاضل بينه وبين المعلوم وهو المسمى بالخطأ الثاني ثم نستخرج من هذين الخطأين صوابا بأن نضرب المفروض الأول في الخطأ الثاني وكذا المفروض الثاني في الخطأ الأول فإن كان الخطأين زائدين معًا على المعلوم إو ناقصين منه معًا فنقسم التفاضل بين حاصلي الضربين على التافضل بين الخطأين فما خرج فهو المجهول المطلوب. وإن كانا مختلفين في الزيادة والنقصان نقسم مجموع الحاصلين على مجموع الخطأين فما خرج فهو المطلوب.
مثاله إردنا عددا إذا ضرب في ثُلثة وزيد على الحاصل عشرة ثم ضوعف المجموع وزيد عليه عشرة صار تسعين فرضناه خمسة ضربناها في الثلاثة حصلت خمسة عشر زدنا عليها العشرة بلغت خمسة وعشرون ضعفناها صارت خمسين زدنا عليه عشرة بلغ ستين وهو ناقص من التسعين المعلوم بثلثين وهو الخطأ الأول، ثم نفرضه سبعة وعملنا عليها ما سبق حصل الخطأ الثاني ثمانية عشر وهو ناقص أيضًا، فضربنا المفروض الأول وهو الخمسة في الخطأ الثاني وهو ثمانية عشر حصل تسعون، ثم ضربنا المفروض الثاني وهو سبعة في الخطأ الأول وهو ثلاثون حصل مائتان وعشرة ولما كان خطئان ناقصين معا أخذنا التفاضل بين الحاصلين فكان مائة وعشرون قسمناها على التفاضل بين الخطأين وهو اثنا عشر خرجت عشرة فهي العدد المطلوب.