مفتاح الحساب/المقالة الرابعة/الباب الرابع/الفصل الثالث

مفتاح الحساب/المقالة الرابعة/الباب الرابع
الفصل الثالث
المؤلف: غياث الدين الكاشي



الفصل الثالث
في مساحة قطع الدائرة وقطعتها واستخراج الأبعاد بعضها عن بعض


أما المساحة فنضرب ذرعان نصف القطر في ذرعان نصف القوس نوع أخر نحصل مساحة دائرة القطاع ونضرب مقدار قوس القطاع بالأجزاء التي بها يكون المحيط ثلاثمائة وستين ويقال لهاالأجزاء المحيطية في سُدس مساحة تلك الدائرة، طريق أخر يضرب مربع ذرعان نصف القطر في مقدار نصف قوسه بالأجزاء التي بها نصف القطر ستون والمحيط ثلاثمائة وسبعة وسبعون تقريبًا وإذا اسقطنا مثلث القطاع الذي هو أصغر من نصف الدائرة عنه بقيت القطعة الصغرى، وإذا زدناه على الذي هو أعظم من النصف حصلت القطعة الكبرى وإما، استخراج الأبعاد بعضها عن بعض فإن كان نصف القطر والوتر معلومين بمقياس واحد وأردنا معرفة قوسه نقسم نصف الوتر على نصف قطره منحطًا ونقوس الحاصل في الجيب فما خرج فهو نصف قوسه بالأجزاء التي بها المحيط ثلاثمائة وستون فإذا زدنا عليه ثلث سبعة بالحساب المشهور أو نضرب ثلاثة في نسبة المحيط إلى القطر التي وضعناها في الجدول فما حصل فهو مقدار نصف قوسه بالأجزاء التي بها نصف القطر ستون ثم إذا ضربناه في ذرعان نصف القطر حصل ذرعان نصف المحيط وإن نضرب ذرعان نصف القطر حصل في نسبة المحيط إلى القطر وهو بحسابنا جـ ح كط مد وبالحساب المشهور ثلاثة وسبع ونضرب الحاصل في مقدار نصف قوسه بما به المحيط ثلاثمائة وستون ونقسم الحاصل على مائة وثمانين يخرج ذرعان نصف القوس وإن كان نصف القطر والسهن معلومين والباقي مجهولا ينقص السهم عن نصف القطر فما بقي العمود الخارج عن زاوية القطاع على منصف الوتر نزيده على نصف القطر ونضرب المجموع في السهم ونأخذ جذر الحاصل فهو نصف وتره والباقي كما سبق

مثال جامع للمجموع قطاع كان نصف قطره اثنى عشر وسهمه اثنين نقصنا الأثنين عن 12 بقي 10 زدنا على 12 بلغ 22 ضربناه في 2 حصل 44 أخذنا جذره فكان ز لح قسمناه على نصف القطر منحطا خرج لجـ ي وهو جيب نصف قوسه قوسناه صار لجـ كب وهو نصف القوس بالأجزاء التي بها المحيط ثلاثمائة وستون أخذ ثلث سبعة بالحساب المشهور بأن قسمناه على كا فكان ا له كـ زدنا عليه بلغ لد يز كـ ثانية وهو نصف قوسه بالأجزاء التي بها نصف القطر ستون وبحسابنا ضربنا ثُلث لجـ كب وهو يا ز كـ في جـ ح كط مد حصل لد نز كط لب ثالثة هذا نصف القوس بالأجزاء التي بها نصف القطر ستون ضربناه في نصف القطر المعلوم اعنى 12 حصل بالحساب المشهور و نط كح ثانية وهو ذرعان نصف قوسه وبحسابنا ز نط يز نب ثالثة

طريق أخر ضربنا نصف القطر وهو 12 في ثلاثة وسُبع بالحساب المشهور حصل

37
5
7

ويكون برقوم الجمل لز مب نا ضربناه في نصف القوس بالأجزاء المحيطة وهو لجـ كب حصل كـ نج كد ثانية قسمناه على مائة وثمانين خرج ز نط ا كح ثالثة كما سبق

وإن كان الوتر والسهم معلومين والباقي مجهولاً نقسم مربع نصف الوتر على السهم فما خرج نزيد عليه السهم ونأخذ نصف المجموع فهو نصف القطر وإن كان ذرعان الوتر معلومًا وكذا القوس بالأجزاء المحيطية معلومة نقسم نصف الوتر على جيب نصف القوس منحطًا فما خرج فهو ذرعان نصف القطر وإن كان ذرعان القوس والوتر معلومين فقط ونريد معرفة نصف القطر يحصل

أما بعمل اليد أو بأن نطلب باستقراء جدول الجيب يكون نسبة إلى قوسه كنسبة مقدار الوتر المعلوم إلى القوس المعلوم فتلك القوس يكون نصف قوس القطاع بالأجزاء التي بها المحيط ثلاثمائة وستون وإن كان ذرعان القوس ونصف القطر معلومين وإردنا معرفة الوتر لمساحة القطر نضرب القطر في نصف المحيط إلى القطر ونقسم عليه حاصل ضرب نصف القوس في مائة وثمانين فما خرج فهو نصف القوس بما به المحيط ثلاثمائة وستون نضرب جيبه في ذرعان نصف القطر منحطًا فما حصل فهو ذرعان نصف الوتر

وأعلم أن القطاع الذي يكون قوسه ربع دائرة أو ثُلثها إذا وقعت في دائرة بحيث يماس طرفا قوسه وزاويته محيط الدائرة فالقطاع نصف تلك الدائرة والدائرة التي وقعت في القطاع الربعي يكون نسبتها إلى ذلك القطاع كنسبة الواحد إلى ؛ كط مح مز وهو نصف قطرخت ؛ كد نا ي الأجزاء التي بها نصف قطر القطاع ستون