النخبة العزية في تهذيب الأصول الهندسية/المقالة الأولى
- الهندسة علم يبحث فيه عن مقدار الأمتداداى مساحته والامتداد هو الأبعاد الثلاثة وهي الطول والعرض والأرتفاع أو العمق
- الخط طول بلا عرض ولا عمق وكل من نهايتي الخط يسمى نقطة والنقطة لا امتداد لها
- الخط المستقيم هو أقرب بعد بين النقطتين
- كل خط ليس مستقيماً ولا مركباً من خطوط مستقيمة فهو خط منحن والخط الذي يتركب من خطوط مستقيمة فهو خط منكسر ففي (شكل 1) خط ا ب يسمى مستقيماً وخط ا جـ د ب يسمى منكسراً وخط ا هـ ب يسمى منحنياً
- السطح ما له طول وعرض فقط
- السطح المستوي هو السطح الذي يمكن أن ينطبق عليه خط مستقيم في أي جهة من جهاته انطباقاً تاماً
- كل سطح ليس مستوياً ولا مركباً من سطوح مستوية فهو سطح منحن
- الجسم ما له ابعاد ثلاثة الطول والعرض والعمق
- (شكل 2) الزاوية هي الانفراج الحاصل من تلاقي خطين مستقيمين. الانفراج مثلاً الذي بين خطى ا ب و ا جـ يسميان ضلعا الزاوية. الزاوية تارة تذكر بحرف ا وحده وهو الذي عند رأسها وتارة تذكر بثلاثة حروف بحيث يكون الحرف الذي يذكر متوسطاً الاعلى رأس الزاوية مثل ب ا جـ و جـ ا ب. الزوايا تقبل الجمع والطرح والضرب والقسمة كسائر المقادير مثلا زاوية د جـ هـ هي مجموع زاويتي د جـ ب و ب جـ هـ وزاوية د جـ ب هي فاضل د جـ هـ و ب جـ هـ (شكل 20)
- إذا تساوت زاويتا ب ا جـ و ب ا د المتجاورتان الحدثتان بجانبي خط ا ب المتلاقي بخط جـ د فكل واحدة من هاتين الزاويتين تسمى قائمة ويقال أن خط ا ب عمود على جـ د (شكل 3)
- الزاوية الحادة ما كانت أصغر من القائمة نحو زاوية ب ا جـ والمنفرجة ما كانت أكبر من القائمة نحو زاوية د هـ و (شكل 4)
- الخطان المتوازيان خطان في مستو واحد لا يلتقيان أصلاً إذا امتدا مثل خطي ا ب و جـ د (شكل 5)
- الشكل المستوي هو سطح مستو أحيطت جميع أطرافه بخطوط فإن كانت تلك الخطوط مستقيمة يسمى ذلك الشكل شكلاً مستقيم لأضلاع أو مضلعاً مستوياً وتسمى تلك الخطوط محيط الشكل أو أضلاع الشكل (شكل 6)
- ابسط الأشكال المستقيمة الأضلاع ما كان ذا ثلاثة أضلاع ويسمى مثلثاً وأن كان للشكل المستقيم الأضلاع أربعة أضلاع يسمى ذا أربعة أضلاع وأن كانت أضلاعه أكثر من أربعة يسمى كثير الأضلاع فإن كان كثير الأضلاع ذا خمسة أضلاع يسمى مخمساً وأن كان ذا ستة يسمى مسدساً وإن كان ذا سبعة يسمى مسبعاً وهكذا إلخ
- المثلث يسمى متساوي الأضلاع إذا تساوت أضلاعه الثلاثة (شكل 7) ومتساوي الساقين إذا تساوى ضلعاه فقط (شكل 8) ومختلف الأضلاع إذا اختلفت أضلاعه الثلاثة (شكل 9)
- المثلث يسمى قائم الزاوية إذا كانت أحدى زواياه قائمة والضلع الذي بقابل تلك القائمة يسمى وترا القائمة فإذا ا ب جـ الذي زاويته ا قائمة يسمى مثلثا قائم الزاوية وضلع ب جـ وتر القائمة (شكل 10)
- لنذكر أنواع الشكل المسمى ذا اربعة أضلاع فنقول منه المربع وهو ما كانت جميع أضلاعه متساوية وزواياه قائمة (شكل 11) ومنه المستطيل وهو ما كانت أضلاعه المتجاورة مختلفة وكانت جميع زواياه قائمة (شكل 12) ومنه المتوازي الأضلاع وهو ما كانت أضلاعه المتقابلة متوازية (شكل 13) ومنه المعين وهو ما كانت أضلاعه متساوية بدون أن تكون زواياه قائمة (شكل 14) ومنه شبه المنحرف وهو ما كان فيه ضلعان متوازيان فقط (شكل 15)
- الخط المستقيم الموصول بين زاويتي ذي أربعة أضلاع أو كثير الأضلاع دون المتجاورتين يسمى قطر الشكل مثلاً خط ا جـ هو قطر (شكل 2 4)
- كل شكل مستقيم الأضلاع إذا تساوت أضلاعه يسمى متساوي الأضلاع ويسمى متساوي الزوايا إذا تساوت زواياه
- الشكلان المستقيما الأضلاع يسميان متساويي الأضلاع المتناظرة إذا تساوت أضلاعهما المتناظرة وكان كل منهما على نظم واحد يعنى إذا كان الضلع الأول من أحدهما مساويا للأول من الآخر والثاني للثاني والثالث للثالث وهكذا إلخ ويسميان متساويي الزوايا المتناظرة إذا تساوت فيهما الزوايا المتناظرة كالأضلاع وبهذين الوجهين تسمى الأضلاع المتساوية أضلاعا متناظرة والزوايا المتساوية تسمى زوايا متناظرة
(تنبيه) الأربع المقالات الأول يبحث فيها عن الأشكال المسطحة والخطوط المرسومة على السطح المستوى
العلوم البديهية هي القضايا التي تكون بينة بنفسها أي لا تحتاج إلى إثبات
الدعوى النظرية هي القضية المسلمة بواسطة البرهان
الدعوى العملية هي المسئلة التى يراد حلها بالعمل
الفائدة هي القضية المعينة على اثبات دعوة نظرية أو مسئلة
القضية اسم يطلق على الدعوى النظرية والعملية والفائدة النتيجة هى الثمرة التي تظهر من قضية أو جل قضايا تقدّمت
التنبيه ما يفهم منه فائدة الدعوى التي تقدمت وارتباطها بغيرها وغايتها
الفروض هي الموضوعات التي تفرض في تقرير قضية أو في أثناء برهان
هذه العلامة = تسمى علامة التساوي فكتابة ا = ب معناها ا تساوي ب ولبيان أن مقدار ا أصغر من مقدار ب يكتب ا < ب ولبيان أن ا أكبر من ب يكتب ا > ب
وهذه + العلامة تسمى علامة الزائد وتدل على الجمع وهذه الإشارة - تسمى علامة الناقص وتدل على الطرح فكتابة ا + ب تدل على حاصل جمع كميتى ا و ب وكتابة ا - ب تدل على فرقهما أي على الباقي من طرح الكمية ب من الكمية ا وكتابة ا - ب + جـ أو ا + جـ - ب تدل على أنه ينبغي جمع ا و جـ ثم طرح ب من حاصل جمعهما
وهذه × العلامة تدل على الضرب فلذا ا × ب يشير إلى حاصل ضرب مقدار ا في مقدار ب وقد استعمل بعضهم نقطة عوضاً عن تلك العلامة نحو ا . ب يعني ا × ب وقد توضع ا ب بدون علامة الضرب وبدون نقطة بالإتصال فتدل على الضرب مثل ا ب يعني ا × ب وحينئذ لم يعن به الحرفان الدالان على نهايتي خط كما يقال خط ا ب وأيضاً هذه الجملة أعني ا × (ب + جـ - د) تدل على حاصل ضرب مقدارا في الكمية المركبة التي هي ب + جـ - د وهذه الجملة أعني (ا + ب) × (ا - ب + جـ) اشارة إلى ضرب مقدار كمية ا + ب في كمية ا - ب + جـ
ما كتب بين قوسين هكذا ( ) قليلاً كان أو كثيرا يعتبر مقداراً واحداً وإذا وضع عدد على يمين خط أو كم دل على ضرب ذلك الخط أو الكم في ذلك العدد الموضوع مثلاً 3 ا ب أشارة إلى أخذ ثلاثة أمثال خط ا ب و 1/2 ا يدل على أخذ نصف زاوية ا وهذه (ا ب)/2 إشارة إلى تعيين مربع خط ا ب و (ا ب)/3 أيضاً تدل على تعيين مكعب خط ا ب ومعاني التربيع والتكعيب تذكر تفصيلا في محلها
وهذه √ علامة تدل على الجذر فلذا 2√ يدل على جذر مربع عدد 2 وأيضاً (ا × ب)√ يدلّ على جذر حاصل ا × ب أو إشارة إلى استخراج الوسط المتناسب الهندسي بين مقداري ا و ب
- يتساوى المقداران إذا كان كل واحد منهما مساويا لمقدار الواحد
- الكل أعظم من جزئه
- الكل يساوي مجموع أجزائه
- لا يمكن وصل خطين مستقيمين بين نقطتين
- المقداران يكونان متساويين إذا أمكن انطباق أحدهما على الآخر انطباقاً تاماً سواء كان هذان المقداران خطين أو سطحين أو جسمين
الزوايا القائمة كلها متساوية (شكل 16)
مثلاً إذا كان خط جـ د المستقيم عموداً على خط ا ب وخط ر ح عموداً على هـ وتكون زاويتا ا جـ د و هـ ر ح القائمتان متساويتين لانه لو أخذت الابعاد الاربعة متساوية وهي جـ ا و جـ ب و هـ ر و ر و لكان بعد ا ب مساوياً لبعد هـ و ومن هذا يمكن أن يوجد خطان مستقيمان بين نقطتي ا ب وهذا خلف (بديهية 4) وتكون نقطة ر التي هي وسط خط هـ و منطبقة على جـ التي هي وسط خط ا ب ومن هذا يكون خط هـ ر منطبقاً على خط ا جـ وأيضاً ينطبق ر ح على جـ د فإن قبل لم ينطبق ضلع ر ح على جـ د بل يكون خارجاً عنه باستقامة جـ ط أجيب بأنه لو كان ضلع ر ح واقعاً على جـ ط لكان يلزم أن تكون زاوية ا جـ ط مساوية لزاوية ط جـ ب لانهما عين زاويتي هـ ر ح و ج ر و المتساويتين ولكن زاوية ا جـ ط أكبر من زاوية ا جـ د أو مماساواها وهي زاوية د جـ ب وأيضاً زاوية د جـ ب أكبر من زاوية ط جـ ب فلذا تكون زاوية ا جـ ط أكبر من زاوية ط جـ ب فيقتضي أن تكون زاويتا ا جـ ط و ط جـ ب متساويتين وغير متساويتين وهذا خلف
فيلزم أن يقع ضلع د ح على جـ د وتنطبق زاوية ا جـ د على زاوية هـ ر ح ويثبت تساوي كل الزوايا القائمة ببعضها (بديهية 5) وهذا ما أردنا اثباته
مجموع زاويتي ا جـ د و ب جـ د المتجاورتين الحادثتين بجانبي خط جـ د المستقيم المتلاقي بخط ا ب يكون مساويا القائمتين (شكل 17) لإنه لو جعل خط جـ هـ عمودا على خط ا ب في نقطة جـ لكانت زاوية ا جـ د مجموع زاويتي ا جـ هـ و هـ جـ د ومن هذا يكون ا جـ د + ب جـ د = ا جـ هـ + هـ جـ د + ب جـ د لكن زاوية ا جـ هـ قائمة ومجموع زاويتي هـ جـ د و ب جـ د هو زاوية ب جـ هـ القائمة الاخرى فلذا لزم أن يكون مجموع زاويتى ا جـ د و ب جـ د مساوي قائمتين وهذا ما أردنا اثباته
(نتجية 1) زاويتا ا جـ د و ب جـ د المتجاورتان إذا كانت أحداهما قائمة تكون الاخرى قائمة
(نتجية 2) (شكل 18) إذا كان خط د هـ عمودا على ا ب كذلك يكون خط ا ب عمودا على د هـ لانه من كون د هـ عمودا على ا ب يلزم أن تكون زاوية ا جـ د قائمة ولذا تكون مجاورتها وهي ا جـ هـ قائمة كما في
(نتيجة 1) ومن تساوي الزوايا القائمة ببعضها يكون ا جـ هـ = ا ح د ومن هذا يكون خط ا ب عمودا على هـ د (10)
(نتيجة 3) (شكل 34) مجموع الزوايا المتعددة المتوالية المنشأة في جانب خط ب و وهي ب ا جـ و جـ ا د و د ا هـ و هـ ا و إلخ يكون مساويا لقائمتين وهي ب ا جـ و جـ ا و المتجاورتين
إذا كان للخطين المستقيميين نقطتان مشتركتان يتحدان إذا امتدا ويكونان خطا مستقيما واحدا
مثلا (شكل 19) إذا كانت النقطتان المشتركتان ا و ب يتحد الخطان فيما بين نقطتي ا ب لانه لا يمكن وجود خطين مستقيميين بين نقطتي ا ب (بديهية 4) فان قبل إذا امتدّا الخطان تفرقا في نقطة جـ بوقوع أحدهما في استقامة جـ د والأخر في استقامة جـ هـ يرسم خط جـ و
بان تكون زواية ا جـ و قائمة ثم يقال حيث ان ا جـ د خط مستقيم وخط جـ و متلاق معه يكون ا جـ و + و جـ د = قائمتين وأيضاً حيث ان خط ا جـ هـ مستقيم وخط جـ و متلاق معه يكون ا جـ و + و جـ هـ = قائمتين فيكون ا جـ و + و جـ د = ا جـ و + و جـ هـ فإذا طرحت الزاوية ا جـ و المشتركة من طرفي هذه المتساوية تبقى زاوية و جـ د تساوي زاوية و جـ هـ وهو محال لان زاوية و جـ هـ جزء من زاوية و جـ د والجزء لا يساوي الكل فتبين بهذا أن كل مستقيميين اشتركا في نقطتين يتحدان ويصيران مستقيما واحدا
إذا كان مجموع الزاويتين المتجاورتين مساويا لقائمتين كان الضلع الخارج من أحداهما على استقامة الضلع الخارج من الاخرى
أي إذا كان مجموع الزاويتين المتجاورتين ا جـ د و د جـ ب من الشكل المرقوم مساويا لقائمتين كان الضلع جـ ا على استقامة الضلع جـ ب لانه لو لم يكن الضلع جـ ا على استقامة الضلع جـ ب لكان على استقامة جـ هـ
مثلا فيكون ا جـ د + د جـ هـ = قائمتين
والمفروض أن ا جـ د + د جـ ب = قائمتين فليلزم ان يكون ا جـ د + د جـ هـ = ا جـ د + د جـ ب وبطرح الزاوية المشتركة ا جـ د تبقى الزاوية د جـ هـ = د جـ ب وهو محال لان الزاوية المشتركة ا جـ د تبقى الزاوية د جـ هـ = د جـ ب وهو محال لان الزاوية د جـ ب جزء من الزاوية د جـ هـ والجزء لا يساوي الكل فتبين بهذا ان الضلع جـ ا على استقامة جـ ب
إذا تقاطع مستقيمان فالزاويتان المتقابلتان برأسيهما ما تكونان متساويتين أي إذا تقاطع مستقيمان مثل ا ب و هـ د من الشكل المرقوم فالزاويتان ا جـ هـ و ب جـ د تكونان متساويتين لانه يلزم من كون الخط ا ب مستقيمان أن يكون ا جـ هـ + هـ جـ ب = قائمتين ومن كون الخط هـ د مستقيمان أن يكون هـ جـ ب + ب جـ د = قائمتين فيكون ا جـ هـ + هـ جـ ب = هـ جـ ب + ب جـ د وبطرح الزاوية المشتركة جـ هـ ب تبقى الزاوية ا جـ هـ مساوية للزاوية ب جـ د وهو المطلوب اثباته وبمثل هذا يبرهن على ان الزاوية ا جـ د مساوية للزاوية ب جـ هـ
مجموع الزوايا ا جـ ب و ب جـ د و د جـ هـ و هـ جـ و و جـ ا المتعددة الحادثة من خطوط مستقيمة متلاقية في نقطة واحدة يساوي أربع قوائم
المثلثان يكونان متساويين إذا كان في كل منهما زاوية مساوية لنظيرتها من الآخر ومنحصرة بين ضلعين كل منهما مساو لنظيره من الأخر
أي إذا كانت ا = للزاوية د والضلع ا ب = للضلع د هـ والضلع ا جـ = للضلع د و ويكون المثلث ا ب جـ = للمثلث د هـ و
(برهانه) أنه لو وضع المثلث ا ب جـ على المثلث د هـ و بحيث ينطبق الضلع ا ب على مساويه د هـ لوقعت النقطة ا على النقطة د والنقطة ب على النقطة هـ وحيث أن الزاوية ا = للزاوية د يقع الضلع ا جـ على مساويه د و والنقطة جـ على النقطة و فينطبق الضلع ب جـ على الضلع هـ و فحينئذ ينطبق المثلث ا ب جـ على المثلث د هـ و فيكونان متساويين وهذا هو المطلوب
وينتج من هذه النظرية أنه إذا ساوى ضلعان وزاوية بينهما ما من مثلث ضلعين وزاوية بينهما من مثلث آخر كل لنظيره تساوت بقية أجزاء أحدهما ببقية أجزاء الآخر
أي إذا كان الضلع ا ب = للضلع د هـ والضلع ا جـ = للضلع د و والزاوية ا = للزاوية د تكون الزاوية ب = للزاوية هـ والزاوية جـ = للزاوية والضلع ب جـ = للضلع هـ و
يتساوي المثلثان إذا تساوي من كل منهما ضلع والزاويتان المجاورتان له كل لنظيره
أي إذا كان الضلع ب جـ مساويا للضلع هـ و ولزاوية ب مساوية للزاوية هـ والزاوية جـ مساوية للزاوية و يكون المثلث ا ب جـ مساويا للمثلث د هـ و
(برهانه) أنه لو وضع المثلث ا ب جـ على المثلث د هـ و بحيث ينطبق الضلع ب جـ على مساويه هـ و لوقعت النقطة ب على النقطة هـ والنقطة جـ على النقطة و وحيث ان الزاوية ب = للزاوية هـ يقع الضلع ا ب على الضلع د هـ وتقع النقطة ا على احدى نقط الخط د هـ وحيث ان الزاوية جـ = للزاوية ويقع الضلع ا جـ على الضلع د و وتقع النقطة ا على احدى نقط الخط د و فحينئذ تقع النقطة ا على النقطة د و بهذا ينطبق المثلث ا ب جـ على المثلث د هـ و ويساويه وهذا هو المطلوب
نتيجة إذا ساوي ضلع وزاويتان مجاورتان له من مثلث ضلعا وزاويتين مجاورتين له من مثلث آخر كل لنظيره تساوت بقية أجزاء أحدهما ببقية أجزاء الآخر كل بنظيره أي إذا كان الضلع ب جـ مساويا للضلع هـ و والزاوية ب مساوية للزاوية هـ والزاوية جـ مساوية للزاوية وكانت الزاوية ا مساوية للزاوية د والضلع ا ب مساويا للضلع د هـ والضلع ا جـ مساويا للضلع د و
أي ضلع من أي مثلث أصغر من مجموع الضلعين الآخرين وهو أكبر من فاضلهما أي أن الضلع ا ب من المثلث ا ب جـ أصغر من مجموع الضلعين ا جـ و جـ ب وأكبر من فاضلها
(برهان القضية الأولى) أنّ الخط المستقيم ا ب أصغر من الخط المنكسر ا جـ ب المار بنهايتي المستقيم ا و ب
(برهان القضية الثانية) أنّ الضلع ب جـ < ا ب + ا جـ فإذا طرح ا جـ من كل من الطرفين بقى ب جـ - ا جـ < ا ب أي ا ب > ب جـ - ا جـ وهو المطلوب