فـ ب ا ا ه أطول من ب ه (ك) ونجعل ه جـ مشتركا فجميع ب ا ا جـ أطول من جميع ب ه ه جـ وأيضاً د ه ه جـ أطول من د جـ (ك) ونجعل د ب مشتركاً فجميع ب ه ه جـ أطول من جميع ب د د جـ فإذن ب ا ا جـ أطول كثيراً من ب د د جـ ولما كانت زاوية ب د جـ الخارجة من مثلث جـ د ه أعظم من زاوية جـ ه د (يو) الخارجة من مثلث ا ب ه التي هي أعظم من زاوية ا (يو) كانت زاوية ب د جـ أعظم كثيراً من زاوية ا وذلك ما أردناه
أقول وبوجه آخر ان لم يكن جميع ب د د ج أقصر من جميع ب ا ا جـ كان إما مساوياً له أو أطول وعلى التقديرين إمّا أن يكون أحد خطى ب د جـ د أقصر من نظيره من خطى ب ا جـ ا أو لا يكون فإن كان فليكن جـ د مثلاُ أقصر من جـ ا ونجعل ا ز بقدر فضل ب د على ب ا (جـ) فـ ز لا يقع على نقطة ه وإلا لكان ب ا ا ه معاً مساويين لـ ب د فيكونان أقصر من ب ه ولا فيما بين ه جـ وإلا لكانا معاً أقصر من ب ه هذا خلف (ك) فهو يقع فيما بين ا ه ونصل ز د ز ب فـ ب د اعنى جميع ب ا ا ز أطول من ب ز (ك) فزاوية ب زد أعظم من زاوية ب د ز (يح) ولما كان ب د مساويا لجميع ب ا ا ز بقى جـ د مساويا لـ جـ ز أو أطول منه فزاوية جـ ز د مساوية لزاوية جـ د ز (ه) أو أعظم منها (يح) فجميع زاوية ب ز جـ أعظم من جميع زاويتي ب د ز جـ د ز اللتين هما أعظم من قائمتين هذا خلف (يجـ) وإن لم يكن أحد خطى ب د جـ د أقصر من الذى يليه من خطى ب ا جـ ا بل كان إما مساويا وأطول وصلنا ا د وبينا بمثل ما مر ان جميع زاوية ب ا جـ أعظم من جميع زاويتي ب د ا جـ د ا أو مساوية لهما هذا خلف (يجـ) فإذن جميع ب د د جـ أقصر من جميع ب ا ا جـ وأيضاً نخرج ا د إلى ح فيكون زاوية ب د ح الخارجة أعظم من زاوية ب ا د (يو) وكذلك زاوية جـ د ح أعظم من زاوية جـ ا د فجميع زاوية ب د جـ أعظم من جميع زاوية ب ا جـ
(كب)
نريد أن نعمل مثلثاً يساوى كل ضلع منه أحد ثلاثة خطوط مفروضة كل اثنين منها معا أطول من الباقي
فليكن الخطوط ا ب جـ وليكن د ه خطاً محدوداً من جهة د فقط ونفصل منه د ز مثل ا (جـ) و ز ح مثل ب و ح ط مثل جـ ونرسم على ز ببعد ز د دائرة د ك ل وعلى ح ببعد ح ط دائرة ط ك ل فتقاطعان على ك ونصل ح ك ز ك فيكون مثلث ك ح ز
