(ح)
كل نقطة خارجة من دائرة يخرج منها خطوط إلى محيطها قاطعة إياها وغير قاطعة فأطول القاطعة هو المار بالمركز والأقرب إليه أطول من الأبعد وأقصر المنتهية غير القاطعة هو الذي على استقامته المركز والأقرب إليه أقصر من الأبعد وخطان عن جنبتيه فقط متساويان
وليكن الدائرة ا ب والنقطة جـ والمركز م ونصل جـ م ملاقياً للمحيط على د ح ونخرج جـ ه جـ ز جـ ا فـ جـ د أطول من جـ ه (ك ا) لأنا إذا وصلنا م ه كان جميع جـ م م ه أعني جـ م د أطول من جـ ه وكذلك كل خط غيره وأيضاً جـ ه أطول من جـ ز لأنا إذا وصلنا م ز كان في مثلثي جـ م ه جـ م ز ضلع جـ م مشتركاً وضلعا م ه م ز متساويين وزاوية جـ م ه أعظم من زاوية جـ م ز فقاعدة جـ ه أطول من قاعدة جـ ز (كد ا) وكذلك في جـ ز جـ ا وأيضاً جـ ح أقصر من جـ ك لأنا إذا وصلنا م ك كان جـ م أقصر (ك ا) من جميع جـ ك ك م فإذا ألقينا م ح م ك المتساويين بقي جـ ح أقصر من جـ ك وكذلك من كل خط غيره وأيضاً جـ ك أقصر من جـ ل لأنا إذا وصلنا م ل كان جميع م ك ك جـ أقصر من جميع م ل ل جـ (كا ا) ويبقى بعد إسقاط م ك م ل جـ ك أقصر من جـ ل وكذلك في جـ ل جـ ط وإذا جعلنا زاوية جـ م ن مثل زاوية جـ م ك (كجـ ا) ووصلنا جـ ن كان مساوياً لـ جـ ك (د ا) لكون جـ م في مثلثي جـ م ن جـ م ك مشتركاً و م ن م ك متساويين وكذلك الزاويتان بينهما ولا يساويهما غيرهما كـ جـ س لأنا إذا وصلنا م س كان في مثلثي جـ م ك جـ م س زاويتا ك م جـ س م جـ متساويتين (ح ا) لتساوي الأضلاع النظائر وكانت زاوية ك م جـ متساوية لزاوية ن م جـ فتكون زاويتا س م جـ ن م جـ متساويتين هذا خلف فإذن الأحكام المذكورة ثابتة وذلك ما أردناه
أقول ويمكن أن يعبر عن هذا الشكل وعن الذي قبله بعبارة واحدة وهي أن يقال كل نقطة ليست بمركز دائرة يخرج منها خطوط إلى محيطها فأطول الخطوط هو الذي يمر بالمركز بعد خروجه من النقطة وقبل انتهائه إلى المحيط وأقصرها هو الذي لا يمر به ويكون على استقامته والأقرب من الأطول أطول ومن الأقصر أقصر ولا يتساوى منها إلا اثنان عن جنبتيهما وقس عليه البرهان
وللبيان وجه آخر وليكن الدائرة ا ب والمركز جـ والنقطة د والخارج المار بالمركز أعني الأطول د ا وغير المار أعني الأقصر د ب
