اَ سَ يقع على مساوية ا س بسبب المساواة التي بين الزاويتين اَ و ا ومن حيث أن النقطة سَ تقع على النقطة س والنقطة بَ على ب ينطبق سَ بَ بالكلية على س ب فإذن تكون الأضلاع مساوية للأضلاع والزوايا للزوايا فالمثلثان يكونان متساويين
فينتج من ذلك بَ سَ = ب س و بَ = ب و سَ = س
(۱۸) يتساوى المثلثان إذا كان في أحدهما ضلع مساو لنظيره من الآخر وكانت كلتا الزاويتين المجاورتين لكل من الضلعين مساوية لنظيرتها
فإذا كان اَ = ا و بَ = ب و اَ بَ = ا ب يكون المثلث اَ بَ سَ = المثلث ا ب س كما في (شكل ۸)
برهان ذلك أن تضع اَ بَ على الضلع المساوي له ا ب فبسبب تساوي الزاويتين اَ و ا يقع الضلع اَ سَ على استقامة ا س وتقع النقطة سَ في محل يكون في تلك الاستقامة وكذلك من حيث أن بَ = ب يقع الضلع بَ سَ على استقامة ب س فإذن تنطبق النقطة سَ على النقطة س فحينئذ يكون المثلثان متساويين
وينتج من هذا أن سَ = س و اَ سَ = ا س و بَ سَ = ب س
(۱۹) كل ضلع من أضلاع المثلث أصغر من مجموع الضلعين الآخرين وذلك أن الخط ا س المستقيم مثلاً هو أقصر بعد من النقطة أ إلى النقطة س فإذن يكون ا س أصغر من ا ب + ب س انظر (شكل ۹)
(٢٠) النقطة والمفروضة في داخل المثلث ا س ب كما في (شكل ۹) إذا اخرج منها إلى طرف الضلع ا ب مستقيمان و ا و و ب كان مجموع هذين المستقيمين أصغر من مجموع الضلعين الآخرين ا س و س ب وذلك أنك إذا مددت ا و إلى د وجدت في المثلث و د ب أن و ب < و د + د ب فإذا أضفت إلى كل من هذين المقدارين المستقيم ا و
