يكون
ا و + و ب < ا و + و د + د ب أو ا و + و ب < ا د + د ب ووجدت أيضاً في المثلث ا س د أن ا د < ا س + س د فإذا اضفت إلى كل من هذين المقدارين المستقيم د ب كان ا د + د ب < ا س + س ب لكن حيث ثبت فيما تقدّم أن ا و + و ب < ا د + د ب يكون بالأولى ا و + و ب < ا س + س ب
(٢١) إذا ساوى ضلعان من أحد مثلثين ضلعين من الآخر وكانت الزاوية التي بين الضلعين من أحدهما أصغر من نظيرتها التي بين الضلعين من المثلث الآخر كان الضلع الثالث المقابل للزاوية الصغرى أصغر من المضلع الثالث المقابل للزاوية الكبرى
فإذا كان ا ب = اَ بَ و ا س = اَ سَ و ا أصغر من اَ يكون س ب أصغر من سَ بَ كما في (شكل ۱۰)
وهذه الدعوى تكاد أن تكون واضحة بنفسها لانا إذا توهمنا ان الضلعين ا س و ا ب باقيان على عظمهما الأصلي في حالة كون الضلع الثالث س ب يتزايد أو يتناقص دائما وجب أن الزاوية ا المقابلة له تتزايد أو تتناقص بحسبه ويمكن البرهنة على هذه الدعوى بوجه دقيق
وذلك أن تضع المثلث ا س ب على المثلث اَ سَ بَ بحيث أن ا ب ينطبق على اَ بَ ويمكن أن يحدث من ذلك ثلاثة أحوال وذلك لأن نقطة س إمّا أن تقع داخل المثلث اَ سَ بَ أو على الضلع سَ بَ أو خارج المثلث أن
ففي الحالة الأولى أي إذا وقعت النقطة س داخل المثلث اَ بَ سَ كما في (شكل ۱٠) في نقطة نفرضها سً يكون اَ سً + سً بَ < اَ سَ + سَ بَ فإذا طرحنا من الطرف الأول اَ سً أو مساوية ا س ومن
