الطرف الآخر مساوية اَ سَ بقي سً بَ أو س ب < سَ بَ وفي الحالة الثانية أي إذا وقعت النقطة س على الضلع سَ بَ في نقطة نفرضها سً كما في (الشكل ١٠) يكون بَ سً أو مساوية ب س أصغر من بَ سَ
وفى الحالة الثالثة أي إذا وقعت النقطة سَ خارجاً في نقطة نفرضها سً يكون اَ سَ < سَ د + اَ د و سً بَ < سً د + د بَ
فإذا جمعنا هاتين المتباينتين كل طرف إلى نظيره وجدنا اَ سَ + سً بَ < سَ بَ + اَ سً
فإذا طرحنا اَ سَ من طرف ومساوية اَ سً من الطرف الآخر يبقى سً بَ أو مساوية س ب < سَ بَ وهو المطلوب
(۲۲) إذا ساوت أضلاع مثلث أضلاع مثلث آخر كل لنظيره كان المثلثان تساويين
وذلك أن ثلاثة أضلاع المثلث ا س ب مساوية لثلاثة أضلاع المثلث اَ سَ بَ كل لنظيره كما في (شكل ۸) فيجب أن تكون الزاوية ا مساوية للزاوية اَ لأن الزاوية ا لو كانت أكبر من الزاوية اَ أو أصغر منها لكان س ب أكبر من سَ بَ أو أصغر منه انظر بند (٢١) لكن هذان الضلعان متساويان فإذن تكون الزاوية ا مساوية للزاوية اَ وبمثل هذا يبرهن على أن الزاوية ب مساوية بَ و س = سَ
وينتج من هذا ان الزوايا المتساوية تكون مقابلة لأضلاع متساوية وبالعكس
(۲۳) من اليقينيات أنه لا يمكن أن يقام من نقطة على مستقيم إلا عمود واحد على ذلك المستقيم انظر (شكل ٣)
فإذا فرضنا أن س د يصنع مع ا ب زاويتين متجاورتين متساويتين
