ا س د و د س ب كان المستقيم س د عموداً على المستقيم ا بَ كما في بند (١٠)
وأمَّا الخط س د وما شبهه من الخطوط التي لم تكن أعمدة على المستقيم ا ب فإنها تسمى خطوطاً مائلة انظر (شكل ۷)
(٢٤) إذا فرضنا نقطة خارج مستقيم ورسمنا منها عموداً وعدّة مستقيمات مائلة على هذا الخط نشأ من ذلك ثلاث حالات كما في (شكل ۱۱) الأولى أن العمود يكون أقصر من كل مستقيم مائل والثانية أن المستقيمات المائلة البعيدة عن موقع ذلك العمود ببعد واحد تكون متساوية والثالثة أن المستقيمين المائلين المتباينين في الطول يكون أبعدهما عن موقع ذلك العمود هو أطولهما
وذلك إنك إذا مددت ا ب الذي هو عمود على د ك على استقامته وأخذت مقداراً ب ف = ا ب ووصلت المستقيمين س ف و د ف فإن المثلث س ب ب َيساوي المثلث ا ب س لأن في احدهما ضلعين وزاوية بينهما يساوي كل منها نظيره من الآخر كما في بند (١٧) لكون س ب مشتركاً بين المثلثين و ب ف = ا ب بالعمل والزاويتين اللتين في نقطة قائمتين بالفرض فيكون س ف = ا س لكن من حيث أن الخط ا ب ف مستقيم يلزم أن يكون ا ف < ا س + س ف فيكون الخط ا ب الذي هو نصف الخط ا ف أقصر من ا س الذي هو نصف الخط ا س ف المنكسر فحينئذ يكون العمود ا ب أقصر من كل من الخطين ا س و ا د المائلين وهو المطلوب
ثم لكن الآن ب ي = ب س فيقال إن المثلث ا ب ي يساوي المثلث ا س ب انظر بند (۱۷) فحينئذ يكون ا ي = ا س فإذن الخطان المائلان البعيدان بعداً واحداً عن النقطة ب التي هي موقع العمود ا ب يكونان متساويين
والخط ا د ف المنكسر في المثلث ا س بَ يكون أقصر من الخط ا س بً
