المنكسر انظر بند (٢٠) فحينئذ يكون ا د الذي هو نصف الأول أقصر من ا س الذي هو نصف الثاني فإذن الخطان المائلان المتباينان أطولهما هو أبعدهما عن موقع العمود
ولما كان العمود أقصر من كل خط مائل كان مقياساً للمسافة الحقيقية التي بين نقطة وخط مستقيم
(٢٥) ينتج مما سبق عدّة نتائج
الأولى أنه لا يمكن أن ينزل من نقطة مفروضة خارج مستقيم إلا عمود واحد على ذلك المستقيم
الثانية إنه لا يمكن أن يرسم من نقطة واحدة على مستقيم ثلاثة مستقيمات متساوية
الثالثة أن كل مثلثين قائمي الزاوية إذا كان في كل منهما غير الزاوية القائمة ضلعان مساويان لنظيريهما من الآخر أو كان في كل منهما غير القائمة زاوية مساوية لنظيرتها من الآخر وضلع مساو لنظيره منه فالمثلثان متساويان
الرابعة إذا كان المستقيم س د عموداً على منتصف مستقيم آخر مثل ا ب كما في (شكل ١٢) فكل نقطة مثل و من س د تكون على بعد واحد من طرفي ا ب
الخامسة كل نقطة مثل ي موضوعة خارج عمود س د تكون متباينة البعدين عن طرفي الخط ا ب كما في الشكل المذكور وذلك لأن النقطة و على بعد واحد من طرفي الخط ا ب فيكون ا و = و ب وحيث أن الضلع ب ي من المثلث أصغر من ي و + و ب ينتج أن ي ب < و ي + ا و فإذن يكون ي ب < ا ي
(٢٦) إذا كان في المثلث ضلعان متساويان فالزاويتان المقابلتان لهذين الضلعين تكونان متساويتين
مثال ذلك ا و = و ب كما في الشكل المذكور فإذا انزلنا من النقطة و عموداً و س على ا ب لزم أن يكون ا س = س ب فحينئذ يكون
