المثلثان ا و س ب و س متساويين لأن أضلاعهما الثلاثة المتناظرة متساوية أو لان في كل منهما ضلعين وزاوية بينهما يساوي كل منها نظيره من الآخر فإذن تكون الزاوية ا = الزاوية و ب ا
وكذلك إذا كانت الزاويتان ا و ب متساويتين فالضلعان و ب و ا و المقابلان لهاتين الزاويتين يكونان متساويين
(۲۷) إذا كان في المثلث ضلعان غير متساويين فالزاوية الكبرى هي التي تقابل الضلع الأكبر
مثال ذلك ا ي > ي ب فإذا أقمنا س د كما في (شكل ١٢) عموداً على منتصف ا ب ورسمنا و ب حدث زاويتان و ب ا و ا ب متساويتان لكن الزاوية ي ب ا أكبر من الزاوية و ب ا فإذن الزاوية ي ب ا المقابلة للضلع ا ي الأكبر تكون أكبر من الزاوية ا المقابلة للضلع ي ب الأصغر وعكس هذه القضية النظرية أيضاً صحيح وهو أن أصغر الأضلاع هو المقابل لأصغر الزوايا
وينتج من هذا أنه متى كانت ثلاثة أضلاع المثلث متساوية فإن زواياه الثلاثة تكون متساوية أيضاً وبالعكس
(۲۸) الخطان المتوازيان هما مستقيمان موضوعان في مستو واحد إذا مدا لا يتلاقيان ابدا فالخطان ا س و ب د المستقيمان العمودان على الخط ا ب كما في (شكل ۱۳) متوازيان بمقتضى التعريف
ومن الأصول المسلمة أن الخط المستقيم العمود على خط آخر يمكن أن يتلاقى مع كل خط مائل على ذلك الآخر فإذا مددنا مثلاً الخط ب ي المائل مدّا كافيا فإنه يتلاقى ضرورة مع الخط ا س الذي هو عمود على الخط ا ب ومن حيث أن هذه القضية تكاد أن تكون واضحة بنفسها تعبرت البرهنة عليها بدليل هندسي فلهذا صار مبحث المتوازيات ناقصاً غير شاف
(۲۹) إذا قطع خطان متوازيان بخط ثالث مستقيم مجموع الزاويتين
