ي ر ب م ر = ر ا ب ر ن أو ع م = ا ن
(۳۸) إذا كانت النسبة الكائنة بين زاويتين مركزيتين في دائرة واحدة أو في دائرتين متساويتين عدداً صحيحاً تكون النسبة بين قوسيهما كالنسبة بين هذين العددين
فإذا فرض أن النسبة بين الزاويتين ا س ب و اَ سَ بَ على نسبة صحيحة كنسبة ۳ : ٥ مثلاً أي فرض أن الزاوية م المفروضة مقاساً مشتركاً داخله ثلاث مرات في الزاوية ا س ب وخمس مرات في الزاوية اَ سَ بَ يقال حيث أن الزوايا الجزئية متساوية تكون أقواسها المتناظرة ا خ و ض خ ... إلخ و اَ خَ و ضَ خَ ... إلخ متساوية أيضاً فإذن يثبت أن نسبة القوس ا ب بتمامه إلى القوس أن بتمامه كنسبة ۳ : ٥
وعكس هذه القضية أيضاً صحيح أي إذا كانت النسبة بين القوسين ا ب و اَ بَ عدداً صحيحاً تكون النسبة بين الزاويتين المركزيتين س و سَ كذلك وإذا فرض أن الزاويتين ا س ب و اَ سَ بَ على غير نسبة صحيحة فالنسبة بينهما كالنسبة بين قوسيهما ا ب و اَ بَ كما في (شكل ٢٣)
فلنضع الزاوية اَ سَ بَ الصغرى على الزاوية ا س ب الكبرى بحيث تكون الزاوية ا س ب = اَ سَ بَ فبمقتضى منطوق الدعوى تتركب متناسبة هكذا الزاوية ا س ب : الزاوية ا س بَ :: القوس ا ب : القوس ا بَ فلو فرضنا أن هذه المتناسبة غير صحيحة وإن حقها أن تكون هكذا
الزاوية ا س ب : الزاوية ا س بَ :: القوس ا ب : القوس أو ثم فرضنا تقسيم ا ب إلى أقسام متساوية كل واحد منها أصغر من بَ و بحيث يوجد ضرورة بين بَ و و نقطة احد التقاسيم ولتكن ع ثم وصلنا
