بين ع و س حدثت متناسبة تقريرها
الزاوية ا س ب : الزاوية ا س ع :: القوس ا ب : القوس ا ع فبسبب تساوى هذه المقدّمات في هذه المتناسبة وفى التي قبلها ينتج أن
نسبة الزاوية ا س بَ : الزاوية ا س ع :: القوس ا و : القوس ا ع لكن القوس ا و أكبر من ا ع فيلزم لصحة هذه المتناسبة الأخيرة أن تكون الزاوية ا س بَ أكبر من الزاوية ا س ع والحال إنها أصغر منها فإذن لا يمكن أن تكون نسبة الزاوية ا س ب للزاوية اَ سَ بَ كنسبة القوس ا ب لقوس أكبر من القوس اَ بَ أو ا بَ
وبمثل هذا الوجه يبرهن أيضاً على أن الطرف الرابع من المتناسبة لا يمكن أن يكون أصغر من اَ بَ فإذن هو مساو له فإذن تكون المتناسبة دائماً هكذا الزاوية ا س ب : الزاوية اَ سَ بَ :: القوس ا ب : القوس اَ بَ وحيث أن الزاوية التي في مركز الدائرة وقوسها الذي بين ضلعيها زيدان وينقصان على نسبة واحدة فلنا أن نأخذ كلا من هذين المقدارين مقياساً للآخر وهذا أحد الأسباب التي حلت المهندسين على أخذ القوس ا ب مثلاً مقياساً للزاوية ا س ب مع أن الأوفق طبعاً قياس مقدار بمقدار آخر من نوعه ثم من المعلوم إنه إذا كان القوس ا ب ربع محيط دائرة تكون الزاوية قائمة
(۳۹) ينتج مما سبق أن القطعين الكائنين في دائرة واحدة أو في الدوائر المتساوية تكون نسبتهما كنسبة قوسيهما
فحينئذ الأقواس المستعملة لقياس الزوايا يمكن أن تستعمل أيضاً لقياس قطوع الدائرة الواحدة
(٤٠) كل زاوية مرسومة في المحيط أي حادثة من وترين فإن مقياسها هو نصف القوس الواقع بين ضلعيها فلنفرض أن أحد ضلعي
