وذو الاثني عشر ما كانت أضلاعه اثني عشر
وذو الخمسة عشر هو ما كانت أضلاعه خمسة عشر وهكذا
والمستقيم الواصل بين رأسي الزاويتين غير المتجاورتين في ذي الأربعة أضلاع أو في كثير الأضلاع يسمى قطر الشكل
(٤٣) كل مثلث مستقيم الأضلاع مجموع زواياه الثلاثة يساوي زاويتين قائمتين فإذا مد كما في (الشكل ٣١) ا س ورسم س ي موازيا للخط ا ب كانت الزاويتان ا و د س ي متساويتين لكونهما متقابلتين بالدخول والخروج وكذلك الزاويتان ب و ب س ي فتكونان متساويتين لكونهما متبادلتين بالدخول لكن مجموع الزوايا ي س د و ب س ي و ا س ب الثلاث يساوي قائمتين فإذن مجموع زوايا المثلث المستقيم الأضلاع يساوي قائمتين
فينتج أولاً من ذلك بالبداهة أن الزاوية ب س د الخارجة تساوي مجموع الزاويتين ا و ب الداخلتين
وثانياً أنه إذا كانت احدى زوايا المثلث قائمة فكل واحدة من الباقيتين تكون حادة ومجموعهما يساوى قائمة
(٤٤) مجموع الزوايا الداخلة في كل شكل كثير الأضلاع يساوي قوائم بعدة أضلاعه إلا اثنين مضروباً باقيه في قائمتين
فإذا وصلنا من النقطة ا إلى جميع روس الزوايا المتقابلة أقطاراً ا س و ا د إلخ فإننا نجد بالبداهة أن كثير الأضلاع يصير منقسماً إلى مثلثات عدتها كعدّة أضلاع هذا الشكل إلا اثنين كما في (شكل ٣٢ أو ٣٣) وحيث أن مجموع سائر زوايا هذه المثلثات عبارة عن مجموع زوايا كثير الأضلاع المذكور يكون هذا المجموع مساوياً قوائم بعدة أضلاعه إلا اثنين مضروباً باقيه في قائمتين فالمخمس الذي في (شكل ٣٢) مجموع زواياه الداخلة يساوي زاويتين قائمتين ثلاث مرات أو ست زوايا قائمة فإذا اشرنا لعدد أضلاع الشكل المطلوب بالحرف ع ولمجموع زواياه بالحرف م وللقائمة بالحرف ن تتركب معادلة
