هكذا م = (ع – ٢) ٢ ق يعني أن مجموع زوايا كثير الأضلاع الداخلة يساوي قوائم بعدد أضلاعه ناقصاً اثنين مضروبا باقيه في قائمتين
(٤٥) فحينئذ تسهل البرهنة على إننا إذا مددنا من جهة واحدة أضلاع كثير الاضلاع المحدّب يعنى الذي ليس له إلا زوايا محدّبة كان مجموع زواياه الخارجة يساوي دائماً أربع زوايا قائمة
وذلك أن مجموع زواياه الداخلة والخارجة يساوي قوائم بعدد أضلاعه مضروباً في قائمتين ومجموع زواياه الداخلة يساوي قوائم بعدد أضلاعه إلا اثنين مضروباً باقيه في قائمتين فيعلم من ذلك أن فاضل هذين المجموعين وهو مجموع الزوايا الخارجة يساوي أربع زوايا قائمة
وهذه الدعوى هي والسابقة نافعتان خصوصاً في تحقيق عدم الخطأ في مساحة زوايا كثير الأضلاع المرسوم على الأرض كما تراه فيما سيأتي
(٤٦) الخطوط ب ي و س ف و د جـ المستقيمة المتوازية القاسمة لأحد أضلاع المثلث وهو م ا من (شكل ٤٣) إلى أقسام متساوية مثل ا ب و ب س و س د تقسم أيضاً الضلع الآخر وهو ا ش من هذا المثلث إلى أقسام متساوية مثل ا ي و ي ف و ف جـ بشرط أن تكون هذه الخطوط المتوازية موازية أيضاً للضلع الثالث وهو م ش
وإذا كانت الأبعاد ا ب و ب س و س د إلخ متساوية وكانت المستقيمات ب ي و س ف و جـ د متوازية كانت الأبعاد ا ي و ي ف و ف جـ أيضاً متساوية ولأجل بيان ذلك ترسم خطوط ي خ و ف ض و جـ ظ إلخ موازية للمستقيم ا م فتحدث مثلثات ا ب ي و ي خ ف و ف ض جـ إلخ متساوية لأن الخطوط ي خ و ف ض إلخ تكون أيضاً متساوية لكونها مساوية لنظائرها من الخطوط ب س و س د إلخ بسبب إنها خطوط متوازية واقعة بين خطوط متوازية انظر بند (۳۱) وأيضاً الزوايا ب ا ي و خ ي ف
