إلخ متساوية لإنها متقابلة بالدخول والخروج والزوايا ا ب ي و ي خ ف إلخ هي أيضاً متساوية لأن انفراجها متوجه إلى جهة واحدة واضلاعها متوازية كما في بند (٣٢) فحيث أن في كل من هذه المثلثات زاويتين بينهما ضلع مساو لنظيره من الآخر تكون متساوية فإذن يكون ا ي = ي ف = ف جـ = إلخ
فينتج من هذا أنه متى كان بين خطين مثل ا ب و ا ي نسبة ما تكون تلك النسبة بعينها بين ضعفيهما المتناظرين المتساويين وهما ا د و ا جـ أي أنه يحدث
ا ب : ا ي :: ا د : ا جـ :: ع × ا ب : ع × ا ي
وحرف عين يدل على عدد صحيح
ثم اذا كان المستقيم د ي الموازي للخط ا س للمستقيم من المثلث ا ب س کما في (شكل ٣٥) يقسم الضلع ا ب إلى قسمين متناسبين مثل ب د و ا د فإنه يقسم أيضاً ب س على هذه النسبة بعينها يعنى أن نسبة
ب د : ا د :: ب ي : ي س أو ا ب : ب د :: ب س : ب ي
لكن لو فرضنا أن الأمر بخلاف ذلك بان فرضنا أن ا ب : ب د :: ب س : ب ف ثم قسمنا ب س إلى اجزاء متساوية بحيث يقع بين ي و ف نقطة أحد الأقسام ولتكن ع ورسمنا من النقطة ع مستقيما ع ك موازيا ا س لحدث
ا ب : ب ك :: ب س : ب ع
فينتج بالضرورة من هذه المتناسبة ومن السابقة متناسبة هي
ب د : ب ك :: ب ف : ب ع وهي غير صحيحة لأن ب د أصغر من ب ك فيلزم أن يكون ب ف أصغر من ب ع مع أنه أكبر منه فإذن لا يكون الحد الرابع من المتناسبة المفروضة أكبر من ب ي وبمثل هذا يبرهن أيضاً على أنه لا يمكن أن يكون أصغر منه فيكون ب ف = ب ي
