وبهذا يثبت المطلوب
وعكس الدعوى المذكورة أيضا صحيح أي إذا كان ضلعان من مثلث مقسومين بخط مستقيم إلى أقسام متناسبة كان هذا الخط المستقيم موازيا للضلع الثالث
(٤٧) المثلثات التي زواياها المتناظرة متساوية وأضـلاعها المتناظرة متناسبة تسمى مثلثات متشابهة والمراد بالأضلاع المتناظرة هي التي تكون على وضع واحد في هذه الأشكال والتي تكون مجاورة لزوايا متساوية وهذه الزوايا تسمى زوايا متناظرة
(٤٨) كل مثلثين متساويي الزوايا تكون اضلاعهما المتناظرة متناسبة فيلزم أن يكون متشابهين
فلنأخذ على الضلعين ا س و س ب من المثلث الأكبر جزءين س جـ و س د مساويين للضلعين سَ اَ و سَ بَ من المثلث الأصغر كما في (شكل ٣٦) وتصل بين النقطتين جـ و د بخط مستقيم فيصير المثلث جـ س د مساويا للمثلث اَ سَ بَ لأن في كل منهما ضلعين وزاوية بينهما مساوية لنظائرها من الآخر لأن المثلثين ا س ب و اَ سَ بَ متساويا الزوايا بالفرض فحينئذ المستقيم جـ د يكون مساويا اَ بَ وموازيا ا ب فيكون بمقتضى القضية السابقة ا س : س ب :: اَ سَ : سَ بَ فإذن كل مثلثين متساويي الزوايا تكون أضلاعهما المتناظرة متناسبة
(٤٩) كل مثلثين أضلاعهما المتناظرة متوازية فهما متشابهان لإنهما متساويا الزوايا بموجب (٣٢)
وبمثل ما تقدم يبرهن على أن المثلثين اللذين في كل منهما زاوية مساوية لنظيرتها من الآخر وكائنة بين ضلعين مناسبين لنظير بهما منه يكونان متشابهين
(٥٠) كل مثلثين اضلاعهما المتناظرة متناسبة فهما متشابهات
