ولنفرض في المثلثين ا ب س و اَ بَ سَ كما في (شكل ۳۷) ان
ا ب : اَ بَ :: ا س : اَ سَ :: ب س : بَ سَ
فالمطلوب حينئذ اثبات ان ا = اَ و ب = بَ و س = سَ ولأجل ذلك يرسم مثلث اَ بَ د متساوي الزوايا مع المثلث ا س ب بحيث تكون الزاوية اَ بَ د = للزاوية ب والزاوية بَ اَ د = ا فبمقتضى القضية السابقة يكون ا ب : اَ بَ :: ا س : اَ د :: ب س : بَ د لكن قد فرض أن ا ب : اَ بَ :: ا س : اَ سَ :: ب س : بَ سَ
فيكون اَ د = اَ سَ و بَ د = بَ سَ
فحينئذ يكون المثلثان اَ بَ د و اَ سَ بَ متساويين لكن المثلث اَ بَ د متساوي الزوايا مع المثلث ا س ب فإذن يكون المثلثان ا س ب و اَ سَ بَ متساويي الزوايا ومتشابهين
وينتج مما تقدم انه لأجل معرفة أن المثلثين متشابهان يشترط أن يكون في كل منهما زاويتان مساويتان لنظيرتيهما من الآخر أو وتكون أضلاعهما المتناظرة متناسبة
(٥۱) كل مثلثين أضلاع أحدهما اعمدة على أضلاع الآخر كل على نظيره فهما متشابهان
فلتكن الاضلاع د ي و د ف و ي ف كما في (شكل ۳۸) اعمدة على الأضلاع ا س و ا ب و س ب كل على نظيره ففي ذي الأربعة الأضلاع الذي هو س خ ي ض مجموع زواياه الأربع يساوي أربع زوايا
