قائمة لكن الزاويتان خ و ض قائمتان بالفرض فإذن يكون مجموع الزاويتين س و د ي ض الباقيتين مساويا قائمتين لكن الزاويتان د ي ض و د ي ن تساويان أيضاً قائمتين فإذن الزاوية د ي ف = س وبمثل هذا يبرهن على أن الزاوية ف د ي = ا وأن الزاوية د ف ي = ب فإذن المثلثان ا س ب و د ي ن اللذان أضلاعهما المتناظرة اعمدة على بعضها يكونان متساوي الزوايا فإذن هما متشابهان
ومن المعلوم أن الأضلاع المتناظرة هي التي تكون بعضها اعمدة على بعض فينتج من ذلك بالبداهة ان ا ب : د ف :: ا س : د ي :: ب س : ي ف
وهذا على فرض أن أحد المثلثين داخل في الآخر فإذا لم يكن كذلك فانه يمكن توهم مثلث ثالث مثل المثلث د ي ف الداخل تكون أضلاعه موازية لأضلاع المثلث ا ب س فحينئذ البرهان السابق ينطبق أيضاً على هذا الشكل
(٥٢) كل خطين متوازيين قاطعين لخطوط مستقيمة خارجة من نقطة واحدة فإنهما ينقسمان بتلك الخطوط المستقيمة إلى اجزاء متناسبة
فحيث أن المستقيمين ب س و د جـ متوازيين كما في (شكل ٣٩) يكون ب و : جـ ط :: و ي : ط هـ :: ي س : هـ د لأن جـ ط حيث أنه مواز ب و يكون المثلثان ا ط جـ و ا ب و متساويي الزوايا فتكون المتناسبة هكذا جـ ط : ب و :: ا ط : ا و
وكذا يقال في المثلثين ا و ي و ا ط هـ أي حيث انهما متساويا الزوايا تكون المتناسبة هكذا هـ ط : و ي :: ا ط : ا و
فبسبب النسبة المشتركة التي هي ا ط و ا و يكون ب و : جـ ط :: و ي : ط هـ
وبمثل ذلك تتحصل متناسبة و ي : ط ھـ :: ي س : ھـ د فإذن الخط جـ د ينقسم في النقطتين ط و هـ بقدر ما انقسم
