الخط ب س في النقطتين و و ي
فينتج من هذا انه إذا كان منقسما إلى أجزاء متساوية يكون موازيه وهو جـ د منقسماً أيضاً إلى أجزاء متساوية
(٥۳) كل مثلث قائم الزاوية إذا أنزلنا من قائمته على وترها عموداً فإنه يحدث من ذلك ثلاث حالات كما في (الشكل ٤٠)
الأولى أن العمود يقسم المثلث إلى مثلثين متشابهين ومشابهين له
الثانية أن العمود يكون وسطاً متناسباً بين قسمي وتر القائمة
الثالثة أن كل ضلع من ضلعي قائمة المثلث المذكور يكون وسطا متناسبا بين وتر القائمة بتمامه والقسم المجاور له
مثال ذلك المثلث ا ب س القائم الزاوية في ا فالعمود ا د النازل من النقطة ا على الوتر س ب يقسم هذا المثلث إلى مثلثين آخرين متشابهين ومشابهين له لان مجموع الزاويتين جـ و س = قائمة وكذلك الزاويتان جـ و و فلزم أن س = و وبمثل ذلك يبرهن على أن جـ = ب فإذن المثلثان ا س د و ا د ب يكونان متساويي الزوايا معا ومع المثلث ا س ب فهما متشابهان فمن تشابه المثلثين الأوّلين وهما ا س د و ا د ب تتركب متناسبة س د : ا د :: ا د : د ب يعني أن العمود ا د هو وسط متناسب بين قسمي وتر القائمة وهما س د و ب د
ومن تشابه المثلثين ا س ب و ا س د تتركب متناسبة
س د : ا س :: ا س : س ب (۱)
ومن تشابه المثلثين ا س ب و ا د ب تتركب متناسبة
ب د : ا ب :: ا ب : ب س (۲)
فإذن كل من ضلعي الزاوية القائمة من المثلث القائم الزاوية وسط متناسب بين الوتر بتمامه والقسم المجاور له
فينتج من المناسبتين (۱) و (۲) أن
ا ب۲ = ب س × ب د
و ا س۲ = ب س × س د
