فإذا جمعنا هاتين المعادلتين كل طرف لنظيره تحصل
لكن ب د + س د = ب س فإذن ا ب۲ + ا س۲ = ب س۲
يعني أن مجموع مربعي ضلعي الزاوية القائمة مساو لمربع وتر القائمة
وسأثي قريباً ذكر هذه القضية المهمة بطريقة اخرى غير متعلقة بتشابه المثلثات
(٥٤) أجزاء الوترين المتقاطعين في دائرة تكون متناسبة على التعاكس وبيانه أن المثلثين ا ي د و س ي ب من (شكل ٤١) متشابهان لكونهما متساويي الزوايا وذلك أن الزاويتين الكائنتين في ي متساويتان لكونهما متقابلتين برأسيهما والزاويتين ا و س متساويتان أيضاً لأن مقياس كل منهما نصف القوس ب د فحينئذ الأضلاع المتناظرة من هذين المثلثين تقيد أن ا ي : ي س :: ي د : ي ب فإذن جزءآ احد الوترين يحدثان طرفي المتناسبة وجزءآ الوتر الآخر يحدثان الوسطين وإذا كان أحد الوتر بين مثل ا ب قطرا والوتر الآخر مثل س د عمودا عليه كما في (شكل ٤٢) فأنه يكون بالضرورة ي س = ي د
فإذن المتناسبة السابقة تصير هكذا ا ي : ي س :: ي س : ي ب ومنه ينتج أن ي س۲ = ا ي × ي ب
وينتج من هذا أن كل عمود على القطر وسط متناسب بين الجزئين اللذين يحدثهما العمود على القطر وهذه الخاصية تنشا بلا واسطة من خاصية المثلث ا س ب القائم الزاوية (انظر النمرة السابقة) وهذا المثلث يفيد أيضاً أن الوتر ا س وسط متناسب بين القطر ا ب والجزء ا ي المجاور له
(٥٥) إذا رسم من نقطة مفروضة خارج الدائرة خطان قاطعان لها ومنتهيان إلى الجزء المقعر من المحيط كان هذان القاطعان بتمامهما متناسبين مع جزئيهما الخارجين على التعاكس
وذلك أن المثلثين ا ب د و ي ب س من (شكل ٤٣) فيهما زاوية
