مشتركة هي ب والزاوية ا = س كما في (بند ٤٠) فإذن هذان المثلثات متشابهان كما في (بند ٤٨) وأضلاعهما المتناظرة تفيد هذه المتناسبة
فإذن أحد الخطين القاطعين التامين وجزؤه الخارج عن الدائرة يكونان طرفين للمتناسبة والقاطع الآخر وجزؤه الخارج يكونان وسطين لها
(٥٦) كل خط مماس للدائرة فهو وسط متناسب بين القاطع وجزئه الخارج
وذلك لأن المثلثين ا س ب و ا د ب من (شكل ٤٤) متشابهان لأن فيهما زاوية مشتركة هي ب والزاوية س المرسومة في المحيط والزاوية ب ا د الحادثة من المماس والوتر مقياس كل منهما نصف القوس ا د انظر بند (٤٠) و (٤١)
فإذن ب س : ا ب :: ا ب : ب د ومنها ينتجان ا ب = ب س × ب د
في خواص الأشكال الكثيرة الأضلاع المنتظمة المرسومة في داخل الدائرة وخارجها والنسبة التقريبية التي بين القطر والمحيط
(٥٧) الشكلان الكثيرا الأضلاع يكونان متشابهين إذا كانت زواياهما المتناظرة متساوية وأضلاعهما المتناظرة متناسبة
(٥۸) كل شكلين كثيري الأضلاع منتظمين ومتحدين في عدد الأضلاع فهما متشابهان
مثال ذلك المسدّسان ا ب س د ي ف و اَ بَ سَ دَ يَ فَ المنتظمان كما في (شكل ٤٥) فحيث أن مجموع زوايا أحدهما ساو لمجموع زوايا الآخر وزوايا كل منهما مساوية لثمان زوايا قائمة بمقتضى بند (٤٤) تكون الزاوية ب ا ف هي سدس هذا المجموع وكذلك الزاوية بَ اَ فَ فإذن ب ا ف = بَ اَ فَ ومثل ذلك يقال في باقي زوايا كثير الأضلاع فإذن هذان
