المضلعان يكونان متساويي الزوايا ومن حيث أن انتظام هذين الشكلين يقتضي أن يكون ا ب = ب س = إلخ و اَ بَ = إلخ تتركب بالبداهة متناسبة نظمها هكذا
ا ب : اَ بَ :: ب س : بَ سَ :: س د : سَ دَ :: إلخ فحيث أن المضلعين المذكورين زواياهما المتناظرة متساوية وأضلاعهما المتناظرة مناسبة يكونان متشابهين انظر (بند ٥۷)
فينتج من هذه النسب المتتالية المتساوية مناسبة نظمها هكذا
ا ب + - + ب س + س د إلخ + ا ف : اَ بَ + بَ سَ + سَ دَ إلخ + اَ فَ :: ا ب : اَ بَ فإذن تكون نسبة محيط الشكلين الكثيري الأضلاع المنتظمين المتحدين في عدد الأضلاع كنسبة أضلاعهما المتناظرة
(٥۹) كل شكل مضلع منتظم يمكن ان يرسم في داخل الدائرة وخارجها
ولنفرض أن النقطة و هي مركز الدائرة التي محيطها يمر بالنقط ا و ب و س الثلاث انظر (شكله ٤٥) فإذا كان المطلوب حينئذ اثبات مروره أيضاً بالنقط د و ي إلخ فلأجل اثبات ذلك ينزل عمود و ش على ب س فيحدث شكلان ذوا أربعة أضلاع هما و ش س د و و ش ب ا يكونان متساويين لأنا إذا طبقنا الشكل ا ب س د على بعضه من و ش فإن النقطة س تقع على ب لأن ب ش = س ش وبسبب مساواة زوايا كثير الأضلاع ينطبق الضلع س د على ا ب والمستقيم و د على ا و لكن ا و نصف قطر فيكون و د كذلك نصف قطر فحينئذ المحيط الذي يمر بالنقط ا و ب و س الثلاث يمر أيضاً بالنقطة د
وبمثل هذا يبرهن على أن المحيط يلزم أن يمر بالنقطة ي وهكذا فإذن كل شكل كثير الأضلاع منتظم يمكن أن يرسم في داخل الدائرة
