ويظهر من ذلك أن جميع الأعمدة مثل و ش النازلة من النقطة و التي هي مركز كثير الأضلاع على أضلاعه تكون متساوية فإذا جعلت النقطة و مركزاً وببعد نصف قطر مثل و ش رسمنا محيطاً فإن هذا المحيط يمس جميع أضلاع كثير الأضلاع في منتصف كل منها ويكون كثير الأضلاع مرسوماً على ذلك المحيط
ونصف قطر الدائرة المرسومة في داخل كثير الأضلاع يسمى نصف قطر الشكل
وينتج من ذلك أن نسبة محيطي كثيري الأضلاع المنتظمين المتحدين في عدد الأضلاع كنسبة نصفي قطر الدائرتين المرسومتين فيهما أو عليهما لأن نسبة أحد هذين المحيطين إلى الآخر كنسبة ضلعيهما المتناظرين وهما ا ب و اَ بَ وهذان الضلعان مناسبان لنصفي القطر و ب و وَ بَ أو و ش و وَ شَ
(٦٠) كل شكلين كثيري الأضلاع متشابهين مركبان من مثلثات متحدة العدد ومتشابهة على التناظر وكائنة على وضع واحد
فكثيرا الأضلاع ا ب س إلخ و اَ بَ سَ إلخ المتشابهان كما في (شكل ٤٦) مركبان ضرورة من عدة واحدة من المثلثات التي على وضع واحد وذلك أن المثلث ت مشابه للمثلث تَ لأن في كل منهما زاوية مساوية لزاوية من الآخر وكائنة بين ضلعين مناسبين لنظيريهما منه فحينئذ الزاوية ي ب ا = يَ بَ اَ
فإذن يكون ا ب : اَ بَ :: ب ي : بَ يَ
ومن تشابه الشكلين ينتج
ا ب : اَ بَ :: ب س : بَ سَ
فإذن ب ي : اَ بَ :: ب س : بَ سَ
فيكون المثلث جـ مشابها للمثلث جـَ بمقتضى بند (٤٩) وبمثل ذلك يبرهن
