على أن المثلثين و و وَ يكونان متشابهين وهلم جرا
(٦١) ضلع المسدس المنتظم المرسوم في دائرة يساوي نصف قطرها وذلك لأن الزاوية أو المركزية من (شكل ٤٥) هي سدس أربع زوايا قائمة أو ثلثا زاوية قائمة فإذن الزاويتان و ب ا و ب ا و الأخريان المتساويتان من هذا المثلث يساويان ٢ - ٢٣ أو ٤٣ فكل واحدة = ٢٣ قائمة فإذن المثلث ا و ب يكون متساوي الأضلاع فإذن ضلع المسدس المرسوم في الدائرة يساوي نصف قطر تلك الدائرة
(٦٢) ضلع المعشر المنتظم يساوي الجزء الأكبر من نصف قطر الدائرة المرسومة عليه المنقسم إلى متناسبة ذات وسط وطرفين
ويقال إن الخط منقسم إلى متناسبة ذات وسط وطرفين إذا كان جزؤه الأكبر وسطاً متناسباً بين الجزء الآخر الأصغر والخط بتمامه
إذا ثبت ذلك فليكن ا ب من (شكل ٤٧) ضلع المعشر المنتظم فحينئذ الزاوية و هي عشر أربع زوايا قائمة أو ٢٣ زاوية قائمة فبمقتضى بند (٤٣) يكون مقدار الزاويتين ا و و ب ا الأخريين المتساويتين ٢ - ٢٥ زاوية قائمة أي ٨٥ فيكون مقدار كل واحدة ٤٦
فإذا قسمنا الزاوية و ب ا إلى قسمين متساويين بمستقيم ب م فإن المثلث ب م و يكون بالبداهة مشابها للمثلث ا ب و لأن الزاوية ا مشتركة بينهما والزاوية ا ب م = ٢٥ زاوية قائمة = و وأيضاً المثلث ب م و يكون متساوي الساقين فحينئذ يكون ا ب = ب م = م و لكن تشابه المثلثين ا ب و ا ب م يفيدان ا و : ا ب :: ا ب : ا م أو ا و : م و :: م و : ا م فإذن نصف القطر ا و منقسم في النقطة إلى متناسبة ذات وسط وطرفين فيكون الضلع ا ب من المعشر المنتظم مساويا م و يعنى أكبر الجزئين
(٦٣) كل خط منحن أو منكسر يحيط بخط محدب من طرفيه فهوا طول من الخط المحاط
