والمراد بالخط المحدّب كل خط ينقطع بمستقيم إلا في نقطتين
وليكن الخط ا م ب من (شكل ٤٨) هو الخط المحدب فإنه لو لم يكن أصغر من جميع الخطوط المحيطة به للزم عليه وجود خط من هذه الخطوط أصغر من جميع الخطوط الاخرى فيكون أصغر من الخط ا م ب أو نهاية ما هناك يكون مساويا له وليكن الخط ا س د ب هو الخط المحيط فلنصل بين هذين الخطين مستقيما ي ف لا يمكن أن يتلاقى مع ا م ب ويمكن أن يمسه فقط فمن حيث أن هذا الخط المستقيم أقصر من ي س د ف ينتج أن الخط الحادث المحيط وهو ا ي ف ب أصغر من الأول وهو ا س د ب لكن هذا الاخير يلزم بالفرض أن يكون أصغر من الكل فإذن هذا الفرض باطل فإذن جميع الخطوط المحيطة تكون أطول من ا م ب
وينتج من ذلك أولاً انه يمكن وجود خط محيط يخالف الخط المحاط قليلاً ما أمكن وثانياً أنه يمكن أن يرسم على الدائرة مضلع منتظم يكون الفضل بين محيطه ومحيط الدائرة وسطحه وسطح الدائرة أصغر من أي مقدار كان فالدائرة هي إذن نهاية كل مضلع كان مرسوماً فيها أو عليها
(٦٤) النسب التي بين محيطات الدوائر كالنسب التي بين أقطارها ولذلك برهانان الأوّل أن يقال إذا اشرنا بالحرفين ط و طَ لمحيطي المضلعين المتشابهين المرسومين بالتناظر على الدائرتين اللتين نصفا قطريهما ز و زَ فبواسطة ما تقدم يكون ططَ = ررَ فإذا توهمنا أن عدة أضلاع هذين المضلعين كثيرة بحيث يكون الفاضل بين محيط كل منهما ومحيط الدائرة المرسوم عليها كل منهما أصغر من كل مقدار محدود امكن أن فاضل النسبة سسَ يعنى محيطي الدائرتين عن النسبة ططَ يعني محيطي المضلعين يمكن أن ينتهي إلى أصغر ما يمكن وحيث ان هذا الفاضل وايضا فاضل النسبين سسَ و ررَ
