غير المتغيرتين لأن ططَ = ررَ ينتج أن فاضل النسبتين الأخيرتين أقل من كل مقدار محدود فإذن هاتان النسبتان تكونان متساويتين فإذن
سسَ = ررَ أو س : سَ :: ر : رَ :: د : دَ
البرهان الثاني وهو طريقة ثانية في اثبات هذه الدعوى
إذا توهما في مضلعين متشابهين مرسومين على دائرتين أن عدد أضلاعهما الاغير متناهية بمعنى أنها أكبر من كل مقدار مفروض كان هـذان الشكلان مختلفين اختلافاً يسيراً عن محيطي الدائرتين المذكورتين ويمكن أن يقال على سبيل التساهل أنهما متحدان مع محيطي الدائرتين فإذن يمكن أخذ محطي هذين المضلعين بدل محيطي الدائرتين المذكورتين لكن بمقتضى دعوى بند (٥۹) تكون النسبة بين محيطي المضلعين كالنسبة بين نصفي قطري الدائرتين المرسومتين عليهما وبهذا يثبت المطلوب
وينتج مما ذكر أن نسبة المحيط إلى القطر متحدة في جميع الدوائر فإذا أشرنا بالحرف ب لهذه النسبة أو لمحيط دائرة قطرها يساوي ا تركبت متناسبة نظمها هكذا
ا : ب :: ٢ ر : س أو س = ٢ ب ر و ر = س٢ ب
فبواسطة هاتين المعادلتين يستخرج محيط الدائرة المشار له بالحرف س حين يعلم نصف قطرها المشار له بالحرف ر وكذا يستخرج نصف قطرها متى علم محيطها
ثم على مذهب أرشميدس ان النسبة هي ب = ٢٢٧ تقريباً يعني أنه إذا كان قطر الدائرة ٧ يكون محيطها بالتقريب ٢٢ وذلك أن هذا المهندس للتوصل إلى استخراج هذه النسبة التقريبية رسم في الدائرة وعليها مضلعاً منتظماً ذا ستة وتسعين ضلعاً مبتدئاً بالمسدس الذي ضلعه يساوي نصف قطر الدائرة المرسومة عليه فوجد أن محيط هذه الدائرة (١٠۷٠ ۳) و (١٠۷١ ۳) فأفاد نسبة ١ : ١۷ ۳ أو ۷ : ٢٢ ثم بعد ذلك
