(٦٧) كل شكلين متوازي الاضلاع متحدي القاعدة والارتفاع متكافئان
فليكن لمتوازي الأضلاع ا ٮ س د و ا ب ي ف من (شكل ٥٣) قاعدة واحدة هي ا ٮ وارتفاع واحد هو د خ ومعلوم أنه بخاصية هذين الشكلين يكون الضلعان ا د و س ٮ متساويين وكذلك الضلعان ٮ ي و ا ف كما في بند (۳۱) ومعلوم أيضاً اننا إذا طرحنا من الخطين د س و ف ي المتساويين الجزء س ف المشترك كان الباقيان وهما د ف و س ي متساويين فحينئذ المثلثان ا د ف و ب س ي أضلاعهما متساوية على التناظر فيلزم أن يكونا متساويين
فإذا طرحنا من ذي الأربعة أضلاع ا ٮ ے د المثلث ٮ س ے ثم المثلث ا د ف المتساويين كان الباقيان ا ب س د و ا ٮ ي ف متكافئين وبهذا يثبت المطلوب
ومن هنا ينتج أن كل متوازي أضلاع يكون مكافئا لمستطيل مثله في القاعدة والارتفاع
(٦٨) كل مثلث فهو نصف متوازي الأضلاع إذا كانت قاعدتهما واحدة وارتفاعهما كذلك
وذلك أن المثلثين اب س ا د س من (شكل ٥٤) متساويان لكون أضلاعهما الثلاثة متساوية على التناظر فإذن يمكن أن يقال أولاً أن المثلث هو نصف قائم الزوايا المتحد معه في القاعدة والارتفاع وثانياً أن جميع المثلثات المتساوية في القواعد والارتفاعات متكافئة
(٦٩) كل مستطيلين متحدين في الارتفاع فإن نسبتهما كنسبة قاعدتيهما وبالعكس
فليكن المستطيلان ا ب د س و ي ف ش جـ كما في (شكل ٥٥) وارتفاعهما ا س فإذا فرضنا أن الخط م مثلاً هو وحدة مقياس خطى وداخل ٥ مرات في القاعدة ا ب و ٣ مرات في القاعدة عن واقنا
