من كل نقطة من نقط التقاسيم التي هي خ و ض إلخ و ط و ن اعمدة خ خَ و ض ضَ إلخ و ط طَ و ن نَ كانت المستطيلات ا خَ و خ ضَ إلخ و ي ط و ط ق متساوية وكان كل من المستطيلين ا د و ي ش مشتملاً على مستطيلات جزئية عدّتها بقدر ما تشتمل قاعدته التي هي ا ب أو ي ف على خط م فحيث أن هاتين القاعدتين على نسبة مشتركة وهي ٥ : ٣ يكون المستطيلان ا د و ے ش على هذه النسبة بعينها ومن المعلوم أنه يقال مثل ذلك في كل نسبة من هذا النوع وهذه القضية تكون أيضاً صحيحة فيما إذا كانت قاعدة المستطيلات على نسبة غير مشتركة والبرهنة عليها تكون باستعمال طريق بند (۳۸) و (٤٦) يعنى بترجيعه إلى قياس الخلف فإذن يكون دائماً ا ب د س : ے ف ش جـ :: ا ب : ے ف وأما عكس هذه القضية وهو أن المستطيلين المتحدين في القاعدة تكون نسبتهما كنسبة ارتفاعيهما فبرهانه يكون باعتبار جـ ے و س ا قاعدتي المستطيلين و ے ف و ا ب ارتفاعهما
(۷۰) كل مستطيلين فان نسبتهما كنسبة حاصل ضرب قاعدتيهما في ارتفاعيهما
فلنفرض أن قاعدتي المستطيلين ا ب س د و ب ي ف جـ كما في (شكل ٥٦) متصلان أي أنهما على مستقيم واحد وهو ا ے وتم رسم المستطيل ا د ش ے الأكبر المستطيلان ا س و ب ش من حيث أن ارتفاعهما واحد وهو أن تكون نسبتهما كنسبة قاعدتيهما وكذلك المستطيلان و ب ش و ب ف من حيث أن قاعدتهما واحدة تكون نسبتهما كنسبة ارتفاعيهما فحينئذ صار معنا من جهة
ا ب س د : ب ي ش س :: ا ب : ب ي ومن جهة اخرى ب ي ش س : ب ي ف جـ :: ب س : ب جـ
فإذا ضربنا حدود هاتين المتناسبتين في بعضها على الترتيب وحذفنا المكرر
