المشترك تحصل معنا
ا ب س د : ب ے ف جـ :: ا ب × ب س : ب ے × ب جـ وهذا هو البرهان على القضية المذكورة
فإذا كان الشكل المستطيل ب ے ف جـ مربعاً اخذ بالعادة الضلع ب ي وحدة للمقياس الخطى فإذن تصير المتناسبة السابقة هكذا
ا ب س د : ب ي ف جـ :: ا ب × ب س : ١
فحينئذ إذا قسنا الخطين ا ب و ب س بالوحدة ب ے كان الحاصل وهو ا ب × ب س دالاً على عدة مرات دخول وحدة السطح أي مربع ب ے ف جـ في المستطيل ا ب س د ولأجل الاختصار يقال أن سطح المستطيل يساوي حاصل ضرب قاعدته في ارتفاعه
ولأجل تحقيق ذلك نفرض ان ا ب = ه أمتار وأن ب س = ۳ أمتار فسطح المستطيل ا ب س د تكون نسبته للمربع ب ے ف جـ كنسبة ۳ × ه إلى ١ وأسهل ما يقال في ذلك أن سطح هذا المستطيل يكون ١٥ متراً مربعاً كما في (شكل ٥٧)
وبمجرد النظر في الشكل يظهر بالبداهة أنه متى كانت قاعدة المستطيل وارتفاعه مشتركين كانت مساحة هذا المستطيل هي حاصل ضرب قاعدته في ارتفاعه
وينتج مما تقدم أن سطح المربع يساوي مربع ضلعه
(۷۱) سطح كل متوازي الاضلاع يساوي حاصل ضرب قاعدته في ارتفاعه
وذلك أن متوازي الأضلاع ا ب س د مكافئ للمستطيل ا ب ف ے المتحد معه في القاعدة ا ب وفي الارتفاع ا ے كما في (شكل ٥٨) فحينئذ يكون ا ب × ا ے مساحة سطح متوازي الأضلاع ا ب س د
(۷۲) سطح كل مثلث يساوي حاصل ضرب قاعدته في نصف ارتفاعه وذلك أن المثلث ا ب س هو نصف متوازي الأضلاع ا ب س د المتحد
