معه في القاعدة ا ب وفى الارتفاع د ے كما في (شكل ٥٤) فإذن يكون ا ب × د ے٢ عبارة عن سطح المثلث ا ب س
(۷۳) سطح شبه المنحرف يساوي ارتفاعه مضروباً في نصف مجموع قاعدتيه المتوازيتين
وذلك لأن شبه المنحرف ا ب س د من (شكل ٥٩) مركب من المثلثين ا س ب و ا س د ومساحة الأول = ا ب٢ × د ے ومساحة الثاني د س٢ × د ے فيكون سطح شبه المنحرف ا ب س د = (ا ب + س د٢) × د ے
فإذا رسمنا من النقطة ش التي هي منتصف القطر ا س خطا ع ك موازياً لقاعدتي شبه المنحرف وهما ا ب و س د ظهران ش ك = ا ب٢ و ع ش = س د٢ كما في (بند ٤٨) فإذن ع ك = ا ب + س د٢ فحينئذ يكون سطح شبه المنحرف مساوياً أيضاً للخط الواصل بين منتصفي الضلعين غير المتوازيين مضروباً في ارتفاع ذلك الشبه المنحرف
(٧٤) سطح كثير الأضلاع المنتظم يساوي نصف حاصل ضرب محيطه في نصف قطره
وذلك لأن المثلثات ا و ب و ب و س إلخ من (شكل ٤٥) حيث أنها متساوية فسطح كثير الأضلاع المنتظم وهو ا ب س د إلخ يساوي سطح المثلث ا و ب مضروباً في عدة أضلاع كثير الأضلاع المذكور ومن حيث أن سطح المثلث ا و ب = ا ب × و ش٢ يكون سطح كثير الأضلاع = ٦ ا ب = ا ب × و ش٢ لكن ٦ ا ب هو محيط كثير الأضلاع و و ش٢ هو نصف قطره أو ربع قطر الدائرة المرسومة فيه فيثبت المطلوب وعلى كل حال فسطح كل شكل كثير الأضلاع مرسوم على دائرة يساوي حاصل ضرب محيطه في ربع قطر تلك الدائرة
(۷٥) سطح الدائرة يساوي حاصل ضرب محيطها في ربع قطرها ولذلك برهانان
