الأول مبنى على مقدمة يقينية هي أن كل مقدارين غير متغيرين مثل ا و ب إذا كان هناك مقدار متغير أكبر من كل منهما مثل خ واشتدّ قربه من أصغرهما يكونان متساويين
بيانه أولاً أن يفرض ا > ب ثم ترتب المقادير الثلاث بحسب عظمها هكذا ب < ا و ا < خ فإذا أخذنا المتغير وهو خ وفرضنا أن خ - ب أصغر من كل مقدار مفروض مثل ص كما هو ممكن فالفاضل ا - ب يكون من باب أولى < ص
وثانياً أن يفرض عكس ذلك أي ا < ب ثم ترتب هذه المقادير على حسب عظمها هكذا ا < ب و ب < خ فإذا أخذنا خ على وجه أن خ ـ ا يكون أصغر من ص أيضاً من باب أولى يكون أصغر من ص ومن حيث أن الفاضل بين ا و ب أصغر من كل مقدار مفروض مثل ص فأياما بلغ هذا المقدار في الصغر ينتج أنه كالعدم وأن ا = ب
ثم نقول الآن من حيث انه بمقتضى الدعوى النظرية التي في بند (٦٣) يمكن توهم مضلع منتظم بل وغير منتظم مرسوم على دائرة نصف قطرها مر بحيث يكون ط وهو محيط المضلع مختلفاً أيضاً قليلاً ما أمكن عن س وهو محيط الدائرة فزيادة حاصـل ط × ١٢ ز على الحاصل غير المتغير وهو س × ١٢ ز يمكن أن تكون أقل من كل مقدار مفروض وأيضاً سطح هذا المضلع بعينه الذي هو دائماً أكبر من سطح الدائرة يمكن أن يقرب من سطح الدائرة ما أمكن فالحواصل ١٢ ط ز و ١٢ س ز وسطح الدائرة تكون ثلاثتها مرتبة كترتيب مقدار خ المتغير ومقداري ا و ب فيكون حاصل ١٢ س ز هو المساحة الحقيقية لسطح الدائرة
البرهان الثاني مبنى على طريقة اللامتناهي وذلك ان نتوهم مضلعاً منتظماً ذا أضلاع غير متناهية مرسوماً على دائرة فإن محيط ذلك المضلع يختلف عن محيط الدائرة اختلافاً قليلاً لانهائيا فإذن يمكن اقامة هذا المضلع مقام
