للزاوية ا س ف والضلع س ل = للضلع س ا والضلع س ب = س ف لكن المثلث ل س ب هو نصف مربع ا س ل ك لإنهما متحدان في القاعدة والارتفاع وبمثل ذلك يبرهن على أن المثلث ا س ف نصف المستطيل س د ے ف فإذن يكون المربع إلى مكافئاً للمستطيل س ے ويبرهن بمثل ذلك على أن المربع ا ش مكافئ للمستطيل ب ے فيكون المربع س جـ مساوياً للمربع ا ش + المربع ا ل يعني أن
س ب۲ = ا ب۲ + ا س۲
وينتج من ذلك أن مربع أحد ضلعي الزاوية القائمة يساوي مربع وترها ناقصاً مربع الضلع الآخر يعنى أن
ا ب۲ = س ب۲ - ا س۲ وهذه الصيغة ناتجة من كون سطح المربع يساوي مربع قاعدته بمقتضى (۷۰) حينئذ يكون المربع المرسوم على قطر أي مربع ضعف المربع المرسوم على ضلعه أو يقال أن نسبة قطر المربع إلى ضلعه :: √ ٢ : ١ فإذن قطر المربع وضلعه على نسبة غير مشتركة
وإما غير ذلك من خواص المثلث القائم الزاوية فقد سبق توضيحه
(۷۸) مربع الضلع المقابل للزاوية الحادة من كل مثلث يساوى مجموع مربعي الضلعين الآخرين ناقصاً ضعف حاصل ضرب الضلع الذي يقع عليه العمود في القسم المجاور لتلك الزاوية
وذلك أن المثلثين ا س د و د س ب من (شكل ٦١) من حيث أنهما قائم الزاوية يفيدان هاتين المعادلتين
ا س۲ = ا د۲ + س د۲ و س د۲ = س ب۲ - ب د۲
فإذا وضعنا مقدار الاخير في مقدار ا س الأول صار هكذا
ا س۲ = ا د۲ + س ب۲ - ب د۲
