لكن (في شكل ٦١) الجزء ا د = ا ب - ب د (شكل ٦٢) الجزؤ ا د = ب د - ا ب فإذن يكون في الصورتين
ا د۲ = ا ب۲ - ۲ ا ب × ب د + ب د۲
ثم يغير فى هذه الصيغة المقدار ا س۲ الثاني بهذا المقدار وهو
ا س۲ = ا ب۲ + ب س۲ - ۲ ا ب × ب د
وهذا ما أردنا بيانه
(۷۹) مربع الضلع المقابل للزاوية المنفرجة في كل مثلث منفرج الزاوية يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين زائد اضعف حاصل ضرب القاعدة في الجزء المجاور لتلك الزاوية كما في (شكل ٦٢)
وبرهان ذلك كما تقدم في الدعوى السابقة أن يقال
ب س۲ = ب د۲ + س د۲ و س د۲ = ا س۲ - ا د۲
فينتج من ذلك أن ب س۲ = ب د۲ + ا س۲ - ا د۲
لكن ب د = ا ب + ا د أو ب د۲ = ا ب۲ + ا د۲ + ۲ ا ب × ا د
فإذن يكون ب س۲ = ا ب۲ + ا س۲ + ۲ ا ب × ا د وهو المطلوب
(۸۰) كل مثلث مدّ من رأسه إلى منتصف قاعدته خط مستقيم كان ضعف مجموع مربع هذا الخط وضعف مربع نصف القاعدة مساويا لمجموع مربعي الضلعين الآخرين
ولتكن ے منتصف الخط ا ب الذي هو قاعدة المثلث ا ب س من (شكل ٦٣) والخط س د هو ارتفاعه فالمثلث ے س ب بمقتضى بند (۷۸) يفيد هذه المعادلة
س ب۲ = س ے۲ + ے ب۲ - ۲ ے ب × ب د
